Question

Resolva a inequação logarítmica.
log2x +log2 (x-1)<1​

Answer 1

Vamos começar considerando a condição de existência do logaritmo.

Para que o logaritmo exista, tanto base quanto logaritmando devem ser números positivos maiores que 0 (zero), logo:

$log_{_2}\,x~~\rightarrow~~Para~existir,~\boxed{x>0}\\\\\\log_{_2}(x-1)~~\rightarrow~~Para~existir,~(x-1)>0~~ou~~\boxed{x>1}$

Vamos agora avaliar a inequação dada:

$log_{_2}x+log_{_2}(x-1)~<~1\\\\\\Utilizando~a~propriedade~do~logaritmo~do~produto\\\\\\log_{_2}\,x.(x-1)~<~1\\\\\\log_{_2}\,(x^2-x)~<~1\\\\\\x^2-x~<~2^1\\\\\\x^2-x-2~<~0\\\\\\Aplicando~bhaskara~para~achar~as~raizes\\\\\\\Delta~=~(-1)^2-4.1.(-2)~=~1+8~=~9\\\\\\x'~=~\frac{1+\sqrt{9}}{2~.~1}~=~\frac{1+3}{2}~=~\frac{4}{2}~=~\boxed{2}\\\\\\x'~=~\frac{1-\sqrt{9}}{2~.~1}~=~\frac{1-3}{2}~=~\frac{-2}{2}~=~\boxed{-1}$

Como o coeficiente "a" na inequação x²-x+2<0 vale 1, ou seja, é positivo, podemos afirmar que que os valores menores que zero solicitados estão entre as raízes, logo:

x²-x+2 < 0  para  -1 < x < 2

Por fim, para achar a solução da inequação dada no enunciado, devemos determinar a intersecção entre os 3 intervalos achados.

A intersecção entre os intervalos

--> x > 0

--> x > 1

--> -1 < x < 2

será:

$\boxed{x\in \Re~/~1<x<2}$