Question

Resolva a inequação em ℝ: 3x² - 7x + 2 ≤ 0

Answer 1

Resolvendo a inequação proposta em $\mathbb{R}$, encontra-se x ⩾ 1/3 e x ⩽ 2. Tal solução pode ser representada por: S = [1/3, 2].

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Deseja-se resolver em $\mathbb{R}$ (nos reais) a seguinte inequação:

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                                                $\large\sf 3x^2-7x+2\leqslant0$

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Ao fatorar a expressão do 1º membro, encontra-se

$\sf3x^2-7x+2\leqslant0$

$\sf3x^2-6x-x+2\leqslant0$

$\sf3x(x-2)-1(x-2)\leqslant0$

$\sf(x-2)(3x-1)\leqslant0$

, uma inequação produto.

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Adotando-se as funções f(x) = x – 2 e g(x) = 3x – 1, faremos o estudo de seus sinais. Calculando os zeros de ambas as funções, encontra-se:

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$\begin{array}{c|c}\sf x-2=0&\sf 3x-1=0\\\\\sf x=2&\sf 3x=1\\\\\sf x=2&\sf x=\dfrac{1}{3}\end{array}$

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Como os coeficientes angulares de f(x) e g(x) são, respectivamente, a = 1 > 0 e a = 3 > 0 (ambos positivos), suas retas serão crescentes. Assim, as funções f e g são positivas para valores maiores que seus zeros. Em suma:

• em f(x):

$\begin{cases}\sf x > 2\implies f(x) > 0\\\\\sf x=2\implies f(x) =0\\\\\sf x < 2\implies f(x) < 0\end{cases}$

• em g(x):

$\begin{cases}\sf x > \dfrac{1}{3}\implies g(x) > 0\\\\\sf x=\dfrac{1}{3}\implies g(x) =0\\\\\sf x < \dfrac{1}{3}\implies g(x) < 0\end{cases}$

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Plotando estas análises em intervalos reais:

                              $\large\text{ \sf f(x)~~\,\overset{\red{~~-~~-~~-~~-~~-~~-~~-~~}}{\textsf{-----------------------------}}\!\!\underset{2}{\bullet}\!\!\overset{\!\!\blue{~~+~~+~~}}{\textsf{-----------}}\!\!\!\blacktriangleright }$

                              $\large\text{ \sf g(x)~\overset{\red{~~-~~-~~}}{\textsf{--------}}\!\!\!\!\!\underset{1/3}{\bullet}\!\!\!\!\overset{\!\!\blue{~~+~~+~~+~~+~~+~~+~~+~~+~~}}{\textsf{--------------------------------}}\!\!\!\blacktriangleright }$

                       $\large\text{ \sf f(x)g(x)~~\,\!\overset{\blue{\!\!\!~~+~~+~~}}{\textsf{---------}}\!\!\!\!\!\!\underset{1/3}{\bullet}\!\!\!\!\overset{\red{~~-~~-~~-~~-~~-~~}}{\textsf{---------------------}}\!\!\!\!\underset{2}{\bullet}\!\!\overset{\!\!\blue{~~+~~+~~}}{\textsf{-----------}}\!\!\!\blacktriangleright }$

Obs.: devido ao fato de lá no início esse produto ser menor ou igual a zero, devemos incluir os zeros das funções nos intervalos (bolinha fechada).  

Obs.₂: os sinais do intervalo do produto são concebidas na regra de sinais entre os outros dois intervalos.

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Se (x – 2)(3x – 1) ⩽ 0, teremos como solução todos os valores negativos apresentados no intervalo do produto. Como podemos ver no destaque abaixo

$\large\text{ \sf\overset{\blue{\!\!\!~~+~~+~~}}{\text{---------}}\!\!\!\!\!\!\underset{1/3}{\bullet}\!\!\!\!\overset{\red{~~-~~-~~-~~-~~-~~}}{\red{\textsf{---------------------}}}\!\!\!\!\underset{2}{\bullet}\!\!\overset{\!\!\blue{~~+~~+~~}}{\text{-----------}}\!\!\!\blacktriangleright }$

, tais valores negativos aparecem entre 1/3 ⩽ x ⩽ 2. Logo, o conjunto solução da inequação 3x² – 7x + 2 ⩽ 0, em notação intervalo, é:

                                        $\boxed{\boxed{\large\begin{array}{l}\\\sf \qquad S=\bigg[\dfrac{1}{3},~2\bigg] \qquad\\\\\end{array}}}$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.