Resolva a inequação do 2° grau:
(2x - 10) · (-x + 7) · (x² - 3x + 2) < 0
Soluções para a tarefa
Resposta:
(2x - 10) · (-x + 7) · (x² - 3x + 2) < 0
2*(x - 5) * (-x + 7) *(x² - 3x + 2) < 0
(x - 5) * (-x + 7) *(x² - 3x + 2) < 0
p=x-5 ==> raiz x=5 , a=1 >0
p------------------(5)++++++++++++++++++++
q=-x+7 ==>raiz=7 , a=-1 <0
q++++++++++++++(7)---------------------------
t=x²-3x+2 ...a=1 ..concavidade p/cima
raízes ==>x'=1 e x''=2
t++++++++++(1)-------------------(2)++++++++++++
Estudo de sinais:
p---------------------------------------(5)+++++++++++++++++++++++
q++++++++++++++++++++++++++++++(7)---------------------------
t+++++++++++(1)-------(2)+++++++++++++++++++++++++++++
p*q*t------------(1)+++++(2)-----(5)+++++(7)-------------------------
queremos < 0
(-∞ ,1) U (2,5) U (7,+∞)
ou faça
1 > x U 2 < x < 5 U x>7
Explicação passo-a-passo:
(2x - 10) · (-x + 7) · (x² - 3x + 2) < 0
Vamos igualar cada equação do produto a zero para calcularmos sua raízes
2x - 10 = 0
2x = 0 + 10 → 2x = 10 → x = 10 ÷ 2 → x = 5
-x + 7 = 0
-x = 0 - 7 → -x = -7 ×(-1) → x = 7
x² - 3x + 2 = 0
encontre um par de números inteiros cuja soma é -3 e cujo
produto é 2. Esses números são -2 e -1. Substitua-os no -3
x² - 2x - 1x + 2 = 0
x² - 2x - x + 2 = 0
agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos
(x² - 2x) + (-x + 2) = 0
no primeiro, coloque o x em evidência e no segundo, o -1 em
evidência
x · (x - 2) - 1 · (x - 2) = 0
coloque o (x - 2) em evidência
(x - 2) · (x - 1) = 0
x - 2 = 0 → x = 0 + 2 → x = 2
x - 1 = 0 → x = 0 + 1 → x = 1
As raízes são: 5, 7, 2, 1
Use cada raiz para criar intervalos de teste (da menor para a maior)
x < 1
1 < x < 2
2 < x < 5
5 < x < 7
x > 7
Escolha um valor de teste de cada intervalo e coloque esse valor na desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade
x < 1 → vamos escolher x = 0
(2 · 0 - 10) · (-0 + 7) · (0² - 3 · 0 + 2) < 0
(0 - 10) · 7 · (0 - 0 + 2) < 0
-10 · 7 · 2 < 0
-140 < 0 verdadeiro
1 < x < 2 → vamos escolher x = 1,5
(2 · 1,5 - 10) · (-1,5 + 7) · ((1,5)² - 3 · 1,5 + 2) < 0
(3 - 10) · 5,5 · (2,25 - 4,5 + 2) < 0
-7 · 5,5 · (-0,25) < 0
9,625 < 0 falso
2 < x < 5 → vamos escolher x = 4
(2 · 4 - 10) · (-4 + 7) · (4² - 3 · 4 + 2) < 0
(8 - 10) · 3 · (16 - 12 + 2) < 0
-2 · 3 · 6 < 0
-36 < 0 verdadeiro
5 < x < 7 → vamos escolher x = 6
(2 · 6 - 10) · (-6 + 7) · (6² - 3 · 6 + 2) < 0
(12 - 10) · 1 · (36 - 18 + 2) < 0
2 · 1 · 20 < 0
40 < 0 falso
x > 7 → vamos escolher x = 10
(2 · 10 - 10) · (-10 + 7) · (10² - 3 · 10 + 2) < 0
(20 - 10) · (-3) · (100 - 30 + 2) < 0
10 · (-3) · 72 < 0
-2160 < 0 verdadeiro
A solução é composta por todos os intervalos verdadeiros
S.: x < 1 ou 2 < x < 5 ou x > 7