Question

Determine a solução geral da equação diferencial:

$\frac{dy}{dt} + \frac{2t}{1+t^2} y = \frac{1}{1+t^2}$

Answer 1

Procedimento para resolver equações do tipo $\mathsf{y'+py=q}$:

$\bullet$ Multiplicar os dois lados da equação por $\mathsf{\mu~\textgreater~0}$, chamado de fator integrante

$\bullet$ Restringir $\mu$ de tal forma que o lado esquerdo se torne a derivada de $\mathsf{(y\mu)}$

$\mathsf{y'+py=q~~~\Longrightarrow~~~y'\mu+(p\mu)y=q\mu}$

Então a restrição será $\mathsf{\dfrac{d\mu}{dt}=p\mu}$

$\bullet$ Encontramos $\mu$ resolvendo a equação encontrada acima

$\bullet$ Encontramos y
______________________________________

$\mathsf{y'+\dfrac{2t}{1+t^{2}}y=\dfrac{1}{1+t^{2}}}$

Multiplicando a equação por $\mathsf{\mu=\mu(t)~\textgreater~0}$:

$\mathsf{y'\mu+\dfrac{2t\mu}{1+t^{2}}y=\dfrac{\mu}{1+t^{2}}}$

Queremos fazer  $\mathsf{y'\mu+\dfrac{2t\mu}{1+t^{2}}y=\dfrac{d}{dt}(y\mu)=y'\mu+\mu'y}$

Para isso, devemos ter

$\mathsf{\mu'=\dfrac{d\mu}{dt}=\dfrac{2t\mu}{1+t^{2}}}$

Resolveremos essa equação diferencial por separação de variáveis:

$\mathsf{\dfrac{d\mu}{dt}=\dfrac{2t\mu}{1+t^{2}}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{d\mu}{\mu}=\dfrac{2t}{1+t^{2}}dt}\\\\\\\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{1}{\mu}\,d\mu=\int\dfrac{2t}{1+t^{2}}dt}\\\\\\\mathsf{\ln\,\mu=\int\dfrac{1}{u}\,du~~~(u=1+t^{2})}\\\\\\\mathsf{\ln\,\mu=\ln\,(1+t^{2})}~~~\Longrightarrow~~\boxed{\boxed{\mathsf{\mu=1+t^{2}}}}$

Achamos o fator de integração. Voltando para a equação:

$\displaystyle\mathsf{y'\mu+\dfrac{2t\mu}{1+t^{2}}y=\dfrac{\mu}{1+t^{2}}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{d}{dt}(y\mu)=\dfrac{\mu}{1+t^{2}}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{d}{dt}\big((y(1+t^{2})\big)=\dfrac{1+t^{2}}{1+t^{2}}}=1\\\\\\\mathsf{\int\dfrac{d}{dt}\big((y(1+t^{2})\big)\,dt=\int1\,dt\,\,\,+C}\\\\\\\mathsf{y(1+t^{2})=t+C}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{y(t)=\dfrac{t+C}{1+t^{2}}}}}$

Essa é a família de soluções da equação diferencial.