Question

Resolva a inequação |2x-1| < |x-2|

Answer 1

Lembrando o conceito de módulo:

$|a| = a \text{ se } a\geq0 \\~\\ |a| = -a \text{ se } a<0$

Aplicando isso na equação:

$|2x-1| < |x-2|$

Temos que:

$|2x-1| = 2x-1 \text{ se } x\geq\frac{1}{2} \text{ e }\\~\\ |2x-1| = 1-2x \text{ se } x<\frac{1}{2}$

Vamos analisar o primeiro caso( $x \geq \frac{1}{2}$ ):

$2x-1 < |x-2|$

Agora temos outra bifurcação:

$|x-2| = x-2 \text{ se } x\geq 2 \text{ e }\\~\\ |x-2| = 2-x \text{ se } \frac{1}{2} \leq x< 2$

Consideremos $x\geq 2$:

$2x-1 < x-2$

$x<-1$ ,  Absurdo!

Temos que o conjunto solução desse caso é:

$S_1 = \emptyset$

Consideremos  $\frac{1}{2}\leq x < 2$:

$2x-1 < 2-x$

$3x<3$

$x<1$

Temos que o conjunto solução desse caso é:

$S_2 = \left\{ x \in \mathbb{R}: \frac{1}{2} \leq x < 1 \right\}$

Agora vamos analisar o segundo caso do primeiro módulo ($x< \frac{1}{2}$):

$1-2x < |x-2|$

Agora temos outra separação:

$|x-2| = x-2 \text{ se } x\in \emptyset \text{ e }\\~\\ |x-2| = 2-x \text{ se } x< \frac{1}{2}$

O primeiro caso nunca acontecerá, já que x nunca será maior que  2.

Consideremos $x< \frac{1}{2}$:

$1-2x < 2-x$

$-x < 1$

$x> -1$

Temos que o conjunto solução desse caso é:

$S_3 = \left\{ x \in \mathbb{R}: -1} < x < \frac{1}{2} \right\}$

Agora só falta unir as soluções para chegar na resposta:

$R = S_1\cup S_2 \cup S_3$

$\boxed{R = \left\{ x \in \mathbb{R}: -1 < x < 1 \right\}}$