Question

Resolva a expressão a seguir:
$(\sqrt{3})^{-\frac{1}{3}}$

Answer 1

Nos números reais, podemos aplicar algumas propriedades de potenciação e radiciação. Considerando um número real a > 0;  k, m, n inteiros;  e k > 0; valem as seguintes propriedades:

     •  $\large\begin{array}{l}\mathsf{^{k}\!\!\!\sqrt{a}=a^{\frac{1}{k}}}\end{array}$

     •  $\mathsf{a^m\cdot a^n=a^{m+n}}$

     •  $\mathsf{(a^m)^n=a^{m\,\cdot\,n}}$

     •  $\mathsf{a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}}$


Sendo assim,

     $\large\begin{array}{l}\mathsf{(\sqrt{3})^{-\frac{1}{3}}}\\\\ \mathsf{=(3^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{3}}}\\\\ \mathsf{=3^{\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{3})}}\\\\ \mathsf{=3^{-\frac{1}{6}}}\\\\ \mathsf{=\dfrac{1}{3^{\frac{1}{6}}}} \end{array}$

     $\large\begin{array}{l}\mathsf{=\dfrac{1}{^{6}\!\!\!\sqrt{3}}} \end{array}$        ✔


A resposta é 1 dividido pela raiz sexta de 3. Caso queira pode parar por aqui.

Mas se for o caso de racionalizar denominadores, você deve multiplicar o numerador e o denominador por $\mathsf{^{6}\!\!\!\sqrt{3^5},}$ para simplificar a raiz sexta:

     $\large\begin{array}{l}\mathsf{=\dfrac{1}{^{6}\!\!\!\sqrt{3}}\cdot \dfrac{^{6}\!\!\!\sqrt{3^5}}{^{6}\!\!\!\sqrt{3^5}}}\\\\ \mathsf{=\dfrac{^{6}\!\!\!\sqrt{3^5}}{^{6}\!\!\!\sqrt{3\cdot 3^5}}}\\\\ \mathsf{=\dfrac{^{6}\!\!\!\sqrt{3^5}}{^{6}\!\!\!\sqrt{3^{1+5}}}}\\\\ \mathsf{=\dfrac{^{6}\!\!\!\sqrt{3^5}}{^{6}\!\!\!\sqrt{3^6}}}\\\\ \mathsf{=\dfrac{^{6}\!\!\!\sqrt{3^5}}{3}}\end{array}$

     $\large\begin{array}{l}\mathsf{=\dfrac{^{6}\!\!\!\sqrt{243}}{3}}\end{array}$        ✔


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Bons estudos! :-)