Question

Resolva a equaçao x^{4}-x³-11x²-x-12=0

Answer 1

x^4 - x³ - 11x² - x - 12 = 0

Vejamos sabemos que uma raiz é igual a "i", então o tal conjugado de "i", que é "-i" também pode ou será raiz. Então, teremos que "i" e "-i" que serão raízes da equação acima, né?! se "i" e "-i" são raízes, então a equação dada será divisível pelo produto: (x+i)*(x-i).

(x+i)*(x-i) = x² - i² ------- veja que i² = -1.

Obs:.
x² - i² = x² - (-1) = x² + 1

Então a equação dada será divisível por x² + 1. Vamos, então a divisão

x^4 - x³ - 11x² - x - 12 |_x²+1_< que é o divisor

---------------------------x²-x -12 < e o quociente
-x^4 - 0x³-x²

...0 - x³ - 12x² - x - 12
.....+ x³ + 0x² + x

.......0 - 12x² - 12
..........+12x² + 12

.......0 .......0
Obs:. Resto zero (era pra ser zero mesmo, pois são divisíveis.

Presta atenção que ficamos com o quociente igual a x² - x - 12.
Vamos, então tentar calcular as raízes dessa equação:

aplicando o Bháskara, temos: x² - x - 12 = 0

x = -3
x = 4

Assim, a equação tem 4 raízes, sendo duas reais (que são as que encontramos acima) e duas complexas (que são "i" e "-i), ou seja, as raízes são:

x' = -3
x'' = 4
x''' = -i
x'''' = i

E assim, a equação dada, quando fatorada em função de suas raízes é:

x^4 - x³ - 11x² - x - 12 = (x+3)*(x-4)*(x-i)*(x+i)

Espero ter ajudado, mano. Até mais precisar tamo ai! ^^