Question

resolva a equação x^4-3x³-3x²-7x+12=0 sabendo-se que 1 e 4 são raízes

Answer 1

Já sabemos então q ( x- 1) e ( x - 4 ) são raízes, vamos fazer divisão de polinômios.

  (x-1)(x-4)(x^4-3x³-3x²-7x+12) / (x-1)(x-4) 
 

  x^4- 3x³-3x²-7x+12   | x³ + x² + x -3
- x^4+4x³                        ( x - 4)
          x³ - 3x²
         -x³ +4x²
                 x² - 7x
                -x²+ 4x
                      -3x +12
                     +3x  -12
                              0

(x-1)(x-4) [(x³ + x² +x -3) / (x-1)]

  x³ + x² + x -3   | x² + 2x + 3
- x³ + x²                 ( x - 1)
       2x² + x
      -2x² + 2x
                3x - 3
               -3x +3
                      0

Ficamos assim então,
 
   (x² + 2x + 3)(x-1)(x-4), agora só achar as raízes do polinômio de grau 2.

Eu uso completar quadrados para achar raízes do 2º grau.

x² + 2x + 3 = 0, Adiciono em ambos o lados a metade do segundo termo ao quadrado.

x² + 2x+(2/2)² +3 = (2/2)², Note que achamos um quadrado perfeito"x² + 2x+(2/2)²"

(x+1)² = -3 +1

(x+1)² = -2

x + 1 = ±√-2, Adicionei raiz em ambos os lados, sendo assim, cancelando o quadrado do"x+1" um lado e ficando raiz no outro lado.

x = -1 ± √-2

x' = -1 +√-2    e     x'' = -1 - √-2

Então as raízes são 2 reais e 2 complexas: 4, 1, -1 - √-2, -1 +√-2.