Question

resolva a equação:

X. ( 2 1) = ( 6 2)
    ( 7 3)     ( 5 -7)
OBS:ISSO É UMA MATRIZ DESCULPE POR NAO ESCREVER DIREITINHO MAS ACHO Q DA PRA ENTENDER

Answer 1

Resolver a equação matricial:

$\mathbf{X} \cdot \left[ \begin{array}{rr} 2&1\\ 7&3 \end{array} \right ]=\left[ \begin{array}{rr} 6&2\\ 5&-7 \end{array} \right ]\\ \\ \mathbf{X} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{B}$

onde

$\mathbf{A} =\left[ \begin{array}{rr} 2&1\\ 7&3 \end{array} \right ],\;\;\;\mathbf{B}=\left[ \begin{array}{rr} 6&2\\ 5&-7 \end{array} \right ]$


(1) Encontrar a matriz inversa de $\mathbf{A}$, caso exista:

$\bullet\;\;$ calculando o determinante da matriz $\mathbf{A}$, temos

$\det\mathbf{A}=\det\left[ \begin{array}{rr} 2&1\\ 7&3 \end{array} \right ]\\ \\ \det\mathbf{A}=2\cdot 3-7 \cdot 1\\ \\ \det\mathbf{A}=6-7\\ \\ \det\mathbf{A}=-1\neq 0$


Como o determinante é diferente de zero, então $\mathbf{A}$ possui inversa.


$\mathbf{A}$ é uma matriz quadrada de ordem $2$. Então, para encontrar a matriz inversa de $\mathbf{A}$, procedemos assim:

a) Troca-se as posições dos elementos da diagonal principal;

b) Troca-se os sinais dos elementos da diagonal secundária;

c) Multiplica a matriz resultante pelo inverso do determinante de $\mathbf{A}$.


Assim, a matriz inversa de $\mathbf{A}$ é

$\mathbf{A}^{-1}=\dfrac{1}{\det\mathbf{A}}\cdot \left[ \begin{array}{rr} 3&-1\\ -7&2 \end{array} \right ]\\ \\ \mathbf{A}^{-1}=-1\cdot \left[ \begin{array}{rr} 3&-1\\ -7&2 \end{array} \right ]\\ \\ \mathbf{A}^{-1}=\left[ \begin{array}{rr} -3&1\\ 7&-2 \end{array} \right ]$


(2) Multiplicando, pela direita, os dois lados da equação por $\mathbf{A}^{-1}$, temos

$\\ \\\mathbf{X}\cdot \mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}^{-1}\\ \\ \mathbf{X}\cdot \left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{-1} \right )=\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}^{-1}$


A multiplicação de uma matriz pela sua inversa resulta na matriz identidade de mesma ordem. Então,

$\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{-1}=\left[ \begin{array}{rr} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right]=\mathbf{I}_{2}$


Substituindo na equação, temos

$\mathbf{X}\cdot \mathbf{I}_{2}=\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}^{-1}$


Mas a multiplicação de qualquer matriz pela identidade de mesma ordem resulta na própria matriz. Então,

$\mathbf{X}\cdot \mathbf{I}_{2}=\mathbf{X}$


Voltando à equação, ficamos com

$\mathbf{X}=\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}^{-1}\\ \\ \mathbf{X}=\left[ \begin{array}{rr} 6&2\\ 5&-7 \end{array} \right ]\cdot \left[ \begin{array}{rr} -3&1\\ 7&-2 \end{array} \right ]\\ \\ \mathbf{X}=\left[ \begin{array}{cc} 6\cdot \left(-3 \right )+2\cdot 7 \;&\;6 \cdot 1+2\cdot \left(-2 \right )\\ 5 \cdot \left(-3 \right )+\left(-7 \right )\cdot 7\;&\;5 \cdot 1+\left(-7 \right )\cdot \left(-2 \right ) \end{array} \right ]\\ \\ \mathbf{X}=\left[ \begin{array}{cc} -18+14 \;&\;6-4\\ -15-49\;&\;5+14 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \mathbf{X}=\left[ \begin{array}{rr} -4&2\\ -64&19 \end{array} \right ]$