Question

Resolva a equação $\sqrt{x^{2}-4x+4 }+|x+2|=3$

Answer 1

Resposta: O  conjunto solução $S$ da equação, em $\mathbb{R}$, é $S=\varnothing$.

Explicação passo-a-passo:

Antes de resolver a equação, deve-se ter em mente uma propriedade importantíssima envolvendo os números reais, que é dada por: $\sqrt{x^{2}}=|x|,\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}$. Nos foi dada a equação $\sqrt{x^{2}-4x+4}+|x+2|=\sqrt{(x-2)^{2}}+|x+2|=|x-2|+|x+2|=3$, com isso, para solucioná-la faz-se necessário limitar a equação acima a determinados intervalos reais, que surgem a partir das possibilidades de sinais dos binômios lineares $x+2$ e $x-2$. Analisando as expressões modulares $|x-2|$ e $|x+2|$, temos:

$|x-2|=x-2$, se $x\geq 2\ \ \ (i)$

$|x-2|=-(x-2)=2-x$, se $x<2\ \ \ (ii)$

$|x+2|=x+2$, se $x\geq -2\ \ \ (iii)$

$|x+2|=-(x+2)=-x-2$, se $x<-2\ \ \ (iv)$

Na primeira possibilidade, basta fazer $(i)$ inter $(iii)$, ou seja:  $x\ \in\ [2,+\infty)\ \cap\ [-2,+\infty)\ \ \Rightarrow\ \ x \in\ [2,+\infty)$. Para $x$ em $[2,+\infty)$, a equação $|x-2|+|x+2|=3$ fica:

$(x-2)+(x+2)=3$  ⇒

$x+x+2-2=3$  ⇒

$2x=3$  ⇒

$x=\frac{3}{2}=1,5$

Perceba que a equação $|x-2|+|x+2|=3$ está sendo resolvida no intervalo $[2,+\infty)$, portanto $x=\frac{3}{2}=1,5$ não é solução válida. Então, o seu conjunto solução $S'$, no intervalo real $[2,+\infty)$, é $S'=\varnothing$.

Para a segunda possibilidade, faremos $(i)$ inter $(iv)$, o que é equivalente a: $x\ \in\ [2,+\infty)\ \cap\ (-\infty,-2)\ \ \Rightarrow\ \ x\ \in\ \varnothing$, o que é absurdo. Com isso, está provado que a equação $|x-2|+|x+2|=3$ não possui solução no intervalo $[2,+\infty)\ \cap\ (-\infty,-2)$, ao passo que não existe número real que pertença a ele. Por fim, o conjunto solução $S''$ da equação, no intervalo $[2,+\infty)\ \cap\ (-\infty,-2)$, é $S''=\varnothing$.

Na terceira possibilidade, temos $(ii)$ inter $(iii)$, ou que equivale a: $x\ \in\ (-\infty,2)\ \cap\ [-2,+\infty)\ \ \Rightarrow\ \ x\ \in\ [-2,2)$. Para $x$ em $[-2,2)$, a equação $|x-2|+|x+2|=3$ se torna:

$(2-x)+(x+2)=3$  ⇒

$x-x+2+2=3$  ⇒

$4=3$  (Absurdo!)

É notório que ao resolver-se a equação $|x-2|+|x+2|=3$ no intervalo $[-2,2)$, encontra-se um Absurdo Matemático. Logo, o seu conjunto solução $S'''$, no intervalo $[-2,2)$, é $S'''=\varnothing$.

Na quarta e última possibilidade, temos $(ii)$ inter $(iv)$, ou seja: $x\ \in\ (-\infty,2)\ \cap\ (-\infty,-2)\ \ \Rightarrow\ \ x\ \in\ (-\infty,-2)$. Para $x$ em $(-\infty,-2)$, temos que a equação $|x-2|+|x+2|=3$ equivale a:

$(2-x)+(-x-2)=3$  ⇒

$-x-x+2-2=3$  ⇒

$-2x=3$  ⇒

$x=\frac{-3}{2}=-1,5$

Percebe-se que a equação $|x-2|+|x+2|=3$ agora está sendo resolvida no intervalo real $(-\infty,-2)$, então $x=\frac{-3}{2}=-1,5$ não é solução válida. Sendo assim, o seu conjunto solução $S''''$ é $S''''=\varnothing$.

Conclui-se que nenhuma das quatro possibilidades acima nos fornece alguma raiz real para a equação $\sqrt{x^{2}-4x+4}+|x+2|=\sqrt{(x-2)^{2}}+|x+2|=|x-2|+|x+2|=3$. Assim sendo, o conjunto solução $S$ da equação será a união dos conjuntos $S'$, $S''$, $S'''$ e $S''''$. Ou seja: $S=S'\ \cup\ S''\ \cup\ S'''\ \cup\ S'''' = \varnothing\ \cup\ \varnothing\ \cup\ \varnothing\ \cup\ \varnothing=\varnothing$.

Abraços!