Question

Resolva a equação

$\dfrac{3^x}{27^{x-3}}=3^{ \sqrt{x} -1}$

Divirtam-se aí ;D

Answer 1

Olá, Korvo, boa madrugada !

$\dfrac{3^{x}}{27^{x-3}}=3^{\sqrt{x}-1}$

Como $27=3^3$, podemos escrever:

$\dfrac{3^{x}}{(3^3)^{x-3}}=3^{\sqrt{x}-1}$

$\dfrac{3^{x}}{3^{3x-9}}=3^{\sqrt{x}-1}$

Em geral, $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$.

Assim, $\dfrac{3^{x}}{3^{3x-9}}=3^{x-3x+9}=3^{-2x+9}$.

Com isso, $3^{-2x+9}=3^{\sqrt{x}-1}$.

Logo:

$-2x+9=\sqrt{x}-1$, isto é, $-2x+10=\sqrt{x}$

Elevando os dois lados ao quadrado, segue que:

$4x^2-40x+100=x~~\Rightarrow~~4x^2-41x+100=0$

$\Delta=(-41)^2-4\cdot4\cdot100=81$

$x=\dfrac{-(-41)\pm\sqrt{81}}{2\cdot4}=\dfrac{41\pm9}{8}$

Assim, $x'=\dfrac{41+9}{8}=\dfrac{25}{4}$ e $x"=\dfrac{41-9}{8}=4$.

Answer 2

$\dfrac{3^x}{27^{x-3}}=3^{ \sqrt{x} -1} \\ \dfrac{3^x}{3^{3x-9}}=3^{ \sqrt{x} -1} \\ {3}^{ - 2x + 9} = {3}^{ \sqrt{x} - 1}$

$\sqrt{x} - 1 = 9 - 2x \\ \sqrt{x} = 10 - 2x \\ x = 100 - 40x + 4 {x}^{2} \\ 4 {x}^{2} - 40x - x + 100 = 0$

$4 {x}^{2} - 41x + 100 \\\Delta =1681 - 1600 = 81$

$x =\dfrac{41 \pm9}{8} \\ x_{1} = \dfrac{25}{4} \\ x_{2} = 4$