Question

Resolva a equação
$(7+4 \sqrt{3} )^{x} - 3(2- \sqrt{3})^x + 2 = 0$

Answer 1

Sim, de fato fiz a fatoração incorretamente. Segue correção:


Considere que:
$(2+ \sqrt{3})^2=2^2+2.2. \sqrt{3}+( \sqrt{3} )^2=4+4 \sqrt{3}+3 =(7+4 \sqrt{3} )$
$\frac{1}{2+ \sqrt{3}}=\frac{1.(2- \sqrt{3} )}{(2+ \sqrt{3})(2- \sqrt{3} ) }=\frac{2- \sqrt{3} }{4-3}=2- \sqrt{3}$

Assim:
$(7+4 \sqrt{3} )=(2+ \sqrt{3})^2$
$2- \sqrt{3}=\frac{1}{2+ \sqrt{3}}$


(Vamos substituir esses valores na equação)

$(7+4 \sqrt{3} )^{x} - 3(\frac{1}{2+ \sqrt{3}})^x + 2 = 0\\ {[(2+ \sqrt{3})^2]}^{x} - \frac{3}{(2+ \sqrt{3})^x} + 2 = 0\\ {[(2+ \sqrt{3})^x]}^{2} - \frac{3}{(2+ \sqrt{3})^x} + 2 = 0\\ Vamos \ fazer \ uma \ substitui\c{c}\~ao:y=(2+ \sqrt{3})^x\\ y^2 - \frac{3}{y} +2=0\\ y^3+2y-3=0\\ Pelo \ teorema \ das \ ra\'izes \ racionais, \ as \ possíveis \ ra\'izes \ s\~ao:$

$M=(-3,-1,1,3)$

Verica-se que 1 é raiz da equação $y^3+2y-3=0$ e assim $y^3+2y-3$
é divisíl por (y-1).
Efetuando-se a divisão: $\frac{y^3+2y-3}{x-1}=y^2+y+3$
Assim:
$y^3+2y-3=0\\ (y-1)(y^2+y+3)=0\\ (y-1)=0\\ y=1\\\\ (y^2+y+3)=0\\ \Delta=1^2-4.1.3 = 1-12=-11$
Esta segunda equação não tem raízes reais e não será utilizada.

Para o valor y=1:
$y=1\\ (2+ \sqrt{3})^x=1\\ (2+ \sqrt{3})^x=(2+ \sqrt{3})^0\\ x=0$

Answer 2

Na verdade, (2 - √3)² = 7 - 4√3, mas (2 + √3)² = 7 + 4√3, que é a relação que utilizaremos para resolver o exercício

Note que (2 + √3)(2 - √3) = 1:

$(2+\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})=2^{2}-(\sqrt{3})^{2}\\\\(2+\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})=4-3\\\\(2+\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})=1$

Portanto:

$2-\sqrt{3}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$

Então, temos que

$(7+4\sqrt{3})^{x}=\left[(2+\sqrt{3})^{2}\right]^{x}=\left[(2+\sqrt{3})^{x}\right]^{2}=u^{2}\\\\\\(2-\sqrt{3})^{x}=\dfrac{1}{(2+\sqrt{3})^{x}}=\dfrac{1}{u}$
________________________

$(7+4\sqrt{3})^{x}-3(2-\sqrt{3})^{x}+2=0\\\\\\u^{2}-\dfrac{3}{u}+2=0$

Multiplicando todos os membros por u:

$u^{3}-3+2u=0\\\\u^{3}+2u-3=0$

Não tem como fatorar essa equação, então, geralmente tentamos encontrar uma raiz (que provavelmente é -1, 0 ou 1) e reduzir o polinômio em questão utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini (divisão de polinômios)

Testando u = -1, 0, 1 como possíveis raízes:

$(-1)^{3}+2(-1)-3=-1-2-3=-3-3=-6\neq0\\\\0^{3}+2(0)-3=-3\neq0\\\\1^{3}+2\cdot1-3=1+2-3=0~~(u=1~\'e~raiz)$

Se u = 1 é raiz de u³ + 2u - 3, então u³ + 2u - 3 é divisível por (u - 1), ou seja, (u - 1) aparece na fatoração de u³ + 2u - 3

Dividindo o polinômio pelo algoritmo de Briot-Ruffini (se quiser a imagem do algoritmo, posso postar), obtemos o polinômio do segundo grau u² + u + 3

As raízes de u² + u + 3 são as raízes restantes de u³ + 2u - 3

Achando as raízes restantes:

$\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=1^{2}-4\cdot1\cdot3\\\Delta=1-12\\\Delta=-11$

As raízes não são reais e, portanto, não nos interessam
___________________________

Temos que u = 1, então:

$u=1\\\\(2+\sqrt{3})^{x}=1\\\\(2+\sqrt{3})^{x}=(2+\sqrt{3})^{0}\\\\\boxed{\boxed{x=0}}$

É a única solução real da equação.