Question

Resolva a equação separável:
y'= (y/x)+ 3xy/ (3y² sen (y)- 6y)x ​

Answer 1

Nas equações separáveis, o objetivo é colocar os termos que contêm y para um lado e os que contêm x para o outro. Nesse sentido,

$~~~~~~~~~ \boxed{\mathsf{y' = \dfrac{\frac{y}{x} + 3xy }{ (3y^2\cdot sen(y) - 6y)\cdot x}}} \\\\\\\Longleftrightarrow ~~~~ \mathsf{y' = \dfrac{\frac{y~+~3x^2y}{x} }{ y\cdot (3 y\cdot sen(y) - 6)\cdot x}}\\\\\\\Longleftrightarrow ~~~~ \mathsf{y' = \dfrac{\not{y}\cdot(1+3x^2)}{\not{y}\cdot (3y\cdot sen(y) - 6)\cdot x^2}}\\\\\\\Longleftrightarrow ~~~~ \mathsf{dy \cdot (3y\cdot sen(y) - 6) = dx\cdot \dfrac{1+3x^2}{x^2}}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow ~~~~ \mathsf{\int (3y\cdot sen(y) - 6) dy = \int \dfrac{1+3x^2}{x^2}dx}\\\\\\ \Longleftrightarrow ~~~~ \boxed{\mathsf{-3y\cdot cos(y) + 3\cdot sen(y) - 6y = -\dfrac{1}{x} + 3x} + C}$

Answer 2

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações diferenciais ordinárias.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial:

$y'=\dfrac{\dfrac{y}{x}+3xy}{(3y^2\sin(y)-6y)\cdot x}$

Primeiro, separamos a fração como uma soma de frações:

$y'=\dfrac{\dfrac{y}{x}}{(3y^2\sin(y)-6y)\cdot x}+\dfrac{3xy}{(3y^2\sin(y)-6y)\cdot x}$

Fatore a expressão nos denominadores e calcule a fração de frações

$y'=\dfrac{1}{3x^2\cdot (y\sin(y)-2)}+\dfrac{1}{y\sin(y)-2}$

Multiplique ambos os lados da equação por um fator $y\sin(y)-2$, de modo que tenhamos:

$(y\sin(y)-2)\cdot y'=\dfrac{1}{3x^2}+1$

Reescrevemos $y'=\dfrac{dy}{dx}$ e multiplicamos ambos os lados da equação pelo diferencial $dx$

$(y\sin(y)-2)\cdot dy=\left(\dfrac{1}{3x^2}+1\right)\cdot dx$

Integramos ambos os lados da igualdade

$\displaystyle{\int (y\sin(y)-2)\cdot dy=\int\left(\dfrac{1}{3x^2}+1\right)\cdot dx}$

Separamos a integral da soma de funções como uma soma de integrais:

$\displaystyle{\int y\sin(y)\,dy-\int 2\,dy=\int \dfrac{1}{3x^2}\,dx+\int 1\,dx}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral do produto entre duas funções pode ser calculado utilizando a técnica de integração por partes.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrito como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\int y\sin(y)\,dy-2\cdot\int 1\,dy=\dfrac{1}{3}\cdot\int\dfrac{1}{x^2}\,dx+\int 1\,dx}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $1=y^0=x^0$ e $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$

$\displaystyle{\int y\sin(y)\,dy-2\cdot\left(\dfrac{y^{0+1}}{0+1}+C_1\right)=\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C_2\right)+\dfrac{x^{0+1}}{0+1}+C_3}$

Some os valores nos expoentes e denominadores e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int y\sin(y)\,dy-2\cdot(y+C_1)=\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{x}+C_2\right)+x+C_3}\\\\\\ \displaystyle{\int y\sin(y)\,dy-2y-2C_1=-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{C_2}{3}+x+C_3}$

Para resolver a integral restante, utilizamos a técnica de integração por partes: escolhem-se os fatores $u$ e $dv$ de acordo com o critério LIATE e os substituímos na fórmula $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}$

O critério LIATE determina uma fila de prioridade para qual tipo de função escolhemos a variável $u$: Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica (potência de $x$), Trigonométrica e Exponencial, nesta ordem.

Assim, fazemos: $u=y$ e $dv=\sin(y)\,dy$. Diferenciamos a igualdade em $u$ e integramos a igualdade em $dv$

$(u)'=(y)'\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int \sin(y)\,dy}$

Calcule a derivada, sabendo que $(u)'=1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dy}=\dfrac{du}{dy}$ e $(y)'=1\cdot y^{1-1}=1$.

$\dfrac{du}{dy}=1~\Rightarrow du=dy$

Calcule a integral, sabendo que $\displaystyle{\int dv=\int 1\,dv=\dfrac{v^{0+1}}{0+1}=v}$ e $\displaystyle{\int \sin(y)\,dy=-\cos(y)}$

$v=-\cos(y)$

Substituindo estes termos na fórmula, temos:

$\displaystyle{y\cdot (-\cos(y))-\int (-\cos(y))\cdot dy}$

Aplique a regra da constante e calcule a integral, sabendo que $\displaystyle{\int \cos(x)\,dx=\sin(x)}$

$-y\cos(y)+\displaystyle{\int \cos(y)\,dy}\\\\\\ -y\cos(y)+\sin(y)+C_4$

Então, nossa equação se torna:

$-y\cos(y)+\sin(y)+C_4-2y-2C_1=-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{C_2}{3}+x+C_3$

Subtraia $C_4-2C_1$ em ambos os lados da equação e considere $\dfrac{C_2}{3}+C_3-C_4+2C_1=C$

$-y\cos(y)+\sin(y)-2y=-\dfrac{1}{3x}+x+C,~C\in\mathbb{R}$

Estas são as soluções desta equação diferencial separável.