Question

resolva a equação sen x+2 cos² x=1, (0<=x<2pi).

Answer 1

$\mathrm{sen\,}x+2\cos^{2}x=1\\ \\ \mathrm{sen\,}x+2\cdot (1-\mathrm{sen^{2}\,}x)=1\\ \\ \mathrm{sen\,}x+2-2\,\mathrm{sen^{2}\,}x=1\\ \\ 2\,\mathrm{sen^{2}\,}x-\mathrm{sen\,}x+1-2=0\\ \\ 2\,\mathrm{sen^{2}\,}x-\mathrm{sen\,}x-1=0$


Fazendo a seguinte mudança de variável

$t=\mathrm{sen\,}x\;\;\;\;\;(-1\leq t\leq 1)$


a equação fica:

$2t^{2}-t-1=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l}a=2\\b=-1\\c=-1 \end{array} \right.\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 2\cdot (-1)\\ \\ \Delta=1+8\\ \\ \Delta=9\\ \\ \\ t=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ t=\frac{-(-1)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 2}\\ \\ t=\frac{1\pm 3}{4}\\ \\ \begin{array}{rcl} t=\frac{1-3}{4}&\,\text{ ou }\,&t=\frac{1+3}{4}\\ \\ t=\frac{-2}{4}&\,\text{ ou }\,&t=\frac{4}{4}\\ \\ t=-\frac{1}{2}&\,\text{ ou }\,&t=1 \end{array}$


Substituindo de volta para a variável $x,$ devemos ter

$\begin{array}{rcl} \mathrm{sen\,}x=-\frac{1}{2}&\,\text{ ou }\,&\mathrm{sen\,}x=1 \end{array}$


Resolvendo separadamente cada uma das equações acima, com $0\leq x <2\pi:$

$\bullet\;\;\mathrm{sen\,}x=-\frac{1}{2}\\ \\ x=\frac{7\pi}{6}\;\;\text{ ou }\;\;x=\frac{11\pi}{6}$


$\bullet\;\;\mathrm{sen\,}x=1\\ \\ x=\frac{\pi}{2}$


Então, o conjunto solução para a equação dada inicialmente é

$S=\left\{\frac{\pi}{2},\,\frac{7\pi}{6},\,\frac{11\pi}{6} \right \}$