Question

Resolva a equação:

na$x^{2} -2x=3 \sqrt{x^{2} -2x$

Answer 1

$x^2-2x=3\sqrt{x^2-2x}$

Eleve os dois membros ao quadrado

$(x^2-2x)^2=(3\sqrt{x^2-2x})^2$

$(x^2-2x)^2=9*(x^2-2x)$

$x^4-4x^3+4x^2=9*(x^2-2x)$

$x^4-4x^3+4x^2=9x^2-18x$

$x^4-4x^3+4x^2-9x^2+18x=0$

$x^4-4x^3-5x^2+18x=0$

tira em evidência o x

$x*(x^3-4x^2-5x+18)=0$

$\boxed{\boxed{x_1=0}}$

e

$(x^3-4x^2-5x+18)=0$

Agora não tem outra forma a não ser tentativa e erro, existia uma maneira de responder isso que meu professor sempre falava, mas eu nunca entendi, posso te indicar uma maneira, mas não vai facilitar sua vida, mas se você resolver terá solução SIM

Pelo método de Girard, sabendo que:

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

temos

$S=x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}$

$P_1=x_2*x_3+x_2*x_4+x_3*x_4=\frac{c}{a}$

$P_2=x_2*x_3*x_4=-\frac{d}{a}$

agora ficaremos com um sistema, não linear de 3 equações com 3 incógnitas

$\begin{Bmatrix}x_2+x_3+x_4&=&4\\x_2*x_3+x_2*x_4+x_3*x_4&=&-5\\x_2*x_3*x_4&=&-18\end{matrix}$

Não vai ser fácil resolver esse sistema não, mas se você conseguir de alguma forma... você vai encontrar

$\boxed{\boxed{\begin{Bmatrix}x_2&=&2\\x_3&=&1-\sqrt{10}\\x_4&=&1+\sqrt{10}\end{matrix}}}$

Eu sei maneiras para facilitar a resolução deste sistema, mas é por cálculo numérico, e fica mais fácil de resolver pelo excel, então por tentativa e erro seria mais simples, você poderia fazer o seguinte

Chute alguns valores, baixos

$x=\{1,-1,2,-2\}$

primeiro, ai você vai ver que o 2 vai zerar a equação, dai você abaixa o grau por Briot-Ruffini e dai pra pra frente é só resolver por Bháskara.

Espero que tenha entendido, Beijos amiga ;)

Answer 2

$x^{2}-2x = 3\sqrt{x^{2}-2x}$

Primeiro fatore para ficar mais fácil.

$x^{2}-2x = 3\sqrt{x^{2}-2x} \\\\ x \cdot (x-2) = 3\sqrt{x^{2}-2x} \\\\ \text{eleva os dois lados ao quadrado} \\\\ (x \cdot (x-2))^{2} = (3\sqrt{x^{2}-2x})^{2} \\\\ x^{2}(x-2)^{2} = 9(x^{2}-2x) \\\\ x^{2}(x-2)^{2} = 9x(x-2) \\\\ x^{2}(x-2)^{2}-9x(x-2) = 0 \\\\ \text{colocando} \ (x-2) \ \text{em evidencia}$

$x^{2}(x-2)^{2}-9x(x-2) = 0 \\\\ (x-2) \cdot [x^{2}(x-2)-9x] = 0 \\\\\\ \Rightarrow x-2 = 0 \\\\ \boxed{x = 2} \\\\\\ \Rightarrow x^{2}(x-2)-9x = 0 \\\\ x \cdot [x(x-2)-9] = 0 \\\\ \boxed{x = 0} \\\\\\ \Rightarrow x(x-2)-9 = 0 \\\\ x^{2}-2x-9 = 0$


Basta resolver a equação de 2º grau:

$x^{2}-2x-9 = 0 \\\\ \Delta = b^{2}-4ac \\\\ \Delta = (-2)^{2}-4 \cdot (1) \cdot (-9) \\\\ \Delta = 4+36 \\\\ \Delta = 40 \\\\\\ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\ x = \frac{-(-2) \sqrt{40}}{2 \cdot 1} \\\\ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{2} \\\\\\ \rightarrow x' = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = \boxed{1+\sqrt{10}} \\\\ \rightarrow x'' = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = \boxed{1-\sqrt{10}}$


São portanto 4 soluções:

$\boxed{\boxed{S = \{0, \ 2, \ 1+\sqrt{10}, \ 1-\sqrt{10}\}}}}$