Question

resolva a equacao (n+1)!/(n-1)!=12

Answer 1

Encontrar um número natural $n$ que satisfaça a equação:

$\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=12\\ \\ \\ \dfrac{(n+1)\cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)!}=12$


Simplificando o fator comum $(n-1)!$ no numerador e no denominador do lado esquerdo, temos

$(n+1)\cdot n=12\\ \\ n^{2}+n=12\\ \\ n^{2}+n-12=0$


Para facilitar a fatoração do lado esquerdo, podemos substituir $n$ por $4n-3n$, já que

$n=4n-3n$


Substituindo, temos

$n^{2}+(4n-3n)-12=0\\ \\ (n^{2}+4n)+(-3n-12)=0\\ \\ n\,(n+4)-3\,(n+4)=0\\ \\ (n+4)\,(n-3)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} n+4=0&\text{ ou }&n-3=0 \end{array}\\ \\ \begin{array}{rcl} n=-4\text{ (n\~{a}o serve)}&\text{ ou }&n=3 \end{array}$


A primeira solução $n=-4$ não serve, pois $-4$ não é um número natural.

Logo, a solução para a equação é

$n=3$
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Obs.: Poderíamos ter resolvido a equação

$n^{2}+n-12=0$

pela fórmula de Bháskara:


$n^{2}+n-12=0\;\;\Rightarrow\;\;a=1,\,b=1,\,c=-12\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(1)^{2}-4\cdot (1)\cdot (-12)\\ \\ \Delta=1+48\\ \\ \Delta=49\\ \\ \\ n=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ n=\dfrac{-(1)\pm \sqrt{49}}{2\cdot (1)}\\ \\ \\ n=\dfrac{-1\pm 7}{2}\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} n=\dfrac{-1+7}{2}&\text{ ou }&n=\dfrac{-1-7}{2}\\ \\ \\ n=\dfrac{6}{2}&\text{ ou }&n=\dfrac{-8}{2}\\ \\ \\ n=3&\text{ ou }&n=-4 \end{array}$