Question

resolva a equação (log2(x-1))²-5*log2(x-1)=0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Amanda, que a resolução é simples.
Tem-se:

[log₂ (x-1)]² - 5*log₂ (x-1) = 0

i) Antes vamos para as condições de existência. Basta impor que o logaritmando (x-1) seja positivo (>0). Assim, deveremos ter que:

x - 1 > 0
x > 1 ---- Esta é a única condição de existência

ii) Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta

[log₂ (x-1)]² - 5*log₂ (x-1) = 0 ----- veja: vamos fazer log₂ (x-1) = y. Fazendo isso, iremos ficar da seguinte forma:

y² - 5y = 0 ----- vamos colocar "y" em evidência, com o que ficaremos:
y*(y - 5) = 0 ---- note que aqui temos um produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades

ou
y = 0 ---> y' = 0

ou
y - 5 = 0 ---> y'' = 5.

iii) Mas veja que fizemos log₂ (x-1) = y . Então:

iii.a) Para y = 0, teremos:

log₂ (x-1) = 0 ------ vamos aplicar a definição de logaritmo. Aplicando-a, veja que isto é a mesma coisa que:

2⁰ = x - 1 ------ como 2⁰ = 1, teremos:
1 = x - 1 ---- passando "-1" para o 1º membro, teremos;
1 + 1 = x
2 = x --- ou, invertendo-se:
x = 2 <---- Resposta válida, pois está atendendo à condição de existência.

iii.b) Para y = 5, teremos:

log₂ (x-1) = 5 ---- aplicando novamente a definição de logaritmo, teremos isto:

2⁵ = x - 1 ------ como 2⁵ = 32, teremos:
32 = x - 1 ----- passando "-1" para o 1º membro, teremos:
32 + 1 = x
33 = x ---- ou, invertendo-se:
x = 33 <--- raiz válida também, pois está atendendo à condição de existência.

iv) Assim, resumindo, temos que "x" poderá ser um dos seguintes valores:

ou x = 2 , ou x = 33 <--- Esta é a resposta.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma, o que é a mesma coisa;

S = {2; 33}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.