Question

Resolva a equação log (2x-5) - log x=1

Answer 1

Resolução da questão, veja:

$\mathsf{log^~{(2x-5)}} - \mathsf{log^~{x}} = 1}}$

Nesse logaritmo usaremos a seguinte propriedade: log (a) - log (b) = log (a/b), veja como fica:

$\mathsf{log^~{(2x-5)}} - \mathsf{log^~{x}} = 1}}\\\\\\\\\ \mathsf{log_{10}^~{\frac{2x-5}{x}}} = \mathsf{1}}}$

Agora usamos a seguinte propriedade: log (b,x) = a => x = b^a, veja como fica:

$\mathsf{log^~{(2x-5)}} - \mathsf{log^~{x}} = 1}}\\\\\\\\\ \mathsf{log_{10}^~{\frac{2x-5}{x}}} = \mathsf{1}}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2x-5}{x}} = 10^{1}}}\\\\\\\\ \mathsf{2x - 5 = x~\cdot~10}}\\\\\\\\ \mathsf{2x-5 = 10x}}\\\\\\\\ \mathsf{2x-10x = 5}}\\\\\\\\ \mathsf{-8x = 5}}\\\\\\\\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{x = -\dfrac{5}{8}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Ou seja, x é igual a -5/8.

Esse resultado não satisfaz o logaritmo fornecido, portanto podemos afirmar que o conjunto solução para este logaritmo é S = {Vazio}

Espero que te ajude '-'

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Amanda, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte expressão logarítmica, que vamos colocar a base "10", pois quando a base é omitida subentende-se que ela seja "10". :

log₁₀ (2x-5) - log₁₀ (x) = 1

Antes de mais nada vamos impor que os logaritmandos sejam positivos (>0), pois só existem logaritmos de números positivos (>0). Então, impondo isso, teremos que:

2x - 5 > 0
2x > 5
x > 5/2
e
x > 0

Entre "x" ser maior do que zero e maior do que "5/2", vai prevalecer "x" ser maior do que "5/2", pois sendo maior do que "5/2" já é maior do que zero.
Logo, a única condição de existência será:

x > 5/2 ---- Esta é a única condição de existência.

Agora que já vimos qual é a condição de existência, vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₁₀ (2x-5) - log₁₀ (x) = 1 ---- como a base é a mesma, então vamos transformar a subtração em divisão, com o que ficaremos assim:

log₁₀ [(2x-5)/x] = 1 ---- veja que o "1" que está no 2º membro, poderá ser substituído por log₁₀ (10), pois log₁₀ (10) = 1. Assim, fazendo essa substituição, teremos;

log₁₀ [(2x-5)/x] = log₁₀ (10) ---- como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos. Logo, poderemos fazer isto:

(2x-5)/x = 10 --- como já sabemos que "x" terá que ser maior que "5/2", então ele será diferente de zero. E, sendo assim, poderemos multiplicar em cruz, sabendo que não estaremos multiplicando nada por zero. Então fazendo isso, teremos:

(2x-5) = x*10 --- ou apenas:
2x - 5 = 10x ----- passando tudo o que tem "x" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, ficaremos assim:

2x - 10x = 5
- 8x = 5 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos;
8x = - 5
x = - 5/8 <--- Resposta inválida, pois como vimos nas condições de existência, "x" teria que ser maior do que "5/2" e isso não está ocorrendo. Logo, a expressão dada não tem resposta no âmbito do conjunto dos Reais, pelo que você poderá apresentar a resposta do seguinte modo:

S = ∅ , ou S =  { } .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.