Question

Resolva a equação log ( 2x + 10) - log2 = log3

Answer 1

Neste exercício, utilizaremos algumas propriedades logarítmicas e a definição de logaritmo (mostradas abaixo) para reescrevermos a equação de tal forma que possamos resolve-la.

$\sf Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~~\boxed{\sf \log_b(a\cdot c)=\log_ba+\log_bc}\\\\\\Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~~\boxed{\sf \log_b\left(\dfrac{a}{c}\right)=\log_ba-\log_bc}\\\\\\De finicao~de~Logaritmo:~~\boxed{\sf \log_ba=c~~\Longleftrightarrow~~a=b^c}$

$\sf \log\,(2x+10)~-~\log2~=~\log3\\\\\\\log\,(2x+10)~-~\log2~-~\log3~=~0\\\\\\\log\,(2x+10)~-~\left(\log2~+~\log3\right)~=~0\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~\underline{logaritmo~do~produto}:\\\\\\\log\,(2x+10)~-~\log\,(2\cdot 3)~=~0\\\\\\\log\,(2x+10)~-~\log6~=~0\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~\underline{logaritmo~do~quociente}:\\\\\\\log\,\left(\dfrac{2x+10}{6}\right)~=~0\\\\\\Aplicando~a~\underline{de finicao}:\\\\\\\dfrac{2x+10}{6}~=~10^0$

$\sf Chegamos~em~uma~equacao~algebrica~a~partir~da~equacao~logaritmica.\\Se~a~equacao~logaritmica~tiver~solucao,~estar\acute{a}~dentro~do~conjunto\\solucao~dessa~equacao~algebrica.$

$\sf \dfrac{2x+10}{6}~=~1\\\\\\ 2x+10~=~6\cdot 1\\\\\\2x+10~=~6\\\\\\2x~=~6-10\\\\\\x~=~\dfrac{-4}{2}\\\\\\\boxed{\sf x~=\,-2}$

Essa é a solução da equação algébrica  $\sf \dfrac{2x+10}{6} = 1$ , vamos agora verificar se x=-2 é também solução da equação logarítmica. Para isso, utilizaremos as condições de existência de logaritmos (mostradas abaixo) para verificar se todos logaritmos estão bem definidos.

$\sf Para~\log_ba~, as~condicoes~de~existencia~s\tilde{a}o:\\\\\left\{\begin{array}{ccc}\sf a&>&0\\\sf b&>&0\\\sf b&\ne&1\end{array}\right.$

Vamos conferir se para x=-2 o log(2x+10), logaritmo com a variável "x", atende às condições de existência.  A base (10) é maior que zero e diferente de 1.

$\sf Para~x=-2,~o~logaritmando~fica:\\\\2\cdot (-2)+10~=\,-4+10~=~\boxed{6}>0~\checkmark$

Como pudemos ver, x=-2 atende às C.E do logaritmo e, sendo assim, podemos afirmar que x=-2 é, também, solução da equação logarítmica.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$