Question

Resolva a equação irracional:

$\begin{array}{l}\mathsf{\sqrt{11+3\sqrt{x}}+\sqrt{11-3\sqrt{x}}=\sqrt{2x}}\end{array}$

Answer 1

Olá Lukyo, tudo bem? Primeiramente, devemos observar que, em princípio, o valor de "x", presente em vários radicais, deve ser maior ou igual a zero. Entretanto, somente depois das verificações finais, poderemos chegar às devidas conclusões. Como sempre, o método mais simples ainda parece ser elevar ao quadrado ambos os lados - passo que necessitará ser feito duas vezes - e, finalmente, resolver a equação resultado, já desprovida dos radicais... Então vamos à resolução:

$\left(\sqrt{11+3\sqrt{x}}+\sqrt{11-3\sqrt{x}}\right)^2=\left(\sqrt{2x}\right)^2\rightarrow \\\\ 11+3\sqrt{x}+ 2\left( \sqrt{\left(11+3\sqrt{x}\right)\times \left(11-3\sqrt{x}\right)} \right)+11-3\sqrt{x}=2x\rightarrow \\\\22+2\left( \sqrt{121-9x} \right)=2x\rightarrow \dfrac{2x-22}{2}=\sqrt{121-9x}\rightarrow \\\\x-11=\sqrt{121-9x}~~\text{Elevando ao quadrado, ambos os lados...}\\\\(x-11)^2=\left( \sqrt{121-9x} \right)^2\rightarrow x^2-22x+121=121-9x\rightarrow\\\\x^2-13x=0~~\text{Duas possibilidades:}$

x = 0... Aparentemente serve, se seguida a condição preliminar de existência
           mas, ao ser verificada chegaremos a uma igualdade impossível:
           $\sqrt{11}+\sqrt{11}=0.~~\text{Assim, x=0, n\~ao nos serve!!}$

ou

x = 13...Dentro da condição preliminar de existência, deve ainda ser
             verificada, para a qual, guardadas as aproximações, teremos:
             $\sqrt{11+3\sqrt{13}}+\sqrt{11-3\sqrt{13}}=\sqrt{2.13}\rightarrow \\\\\sqrt{11+10,8}+\sqrt{11-10,8}=\sqrt{26}\rightarrow\\\\ \sqrt{21,8}+\sqrt{0,2}=5,1\rightarrow 4,65+0,45=5,1\rightarrow 5,1=5,1^{(*)}\\\\(*)\text{OBS:~~Com uma ``boa'' aproxima\c c\~ao!!}$

Portanto, como solução final, apenas x = 13.

Muito Obrigado!! :-)

Answer 2

Vamos elevar os dois lados ao quadrado:

$\sqrt{11+3\sqrt x}+\sqrt{11-3\sqrt x}=\sqrt{2x}\\\\ (11+3\sqrt x)+2\sqrt{(11+3\sqrt x)(11-3\sqrt x)}+(11-3\sqrt x)=2x\\\\ 22+2\sqrt{121-9x}=2x\\\\ 11+\sqrt{121-9x}=x\\\\ \sqrt{121-9x}=x-11$

Elevando os dois lados ao quadrado novamente, obtemos:

$121-9x=x^2-22x+121\\\\ x^2-13x=0\\\\ x(x-13)=0\\\\ \Longrightarrow x=0~~ou~~x=13$

Verificando os valores encontrados:

• Para x=0:
$\sqrt{11+3\sqrt x}+\sqrt{11-3\sqrt x}=\sqrt{2x}\\\\ \sqrt{11+3\sqrt 0}+\sqrt{11-3\sqrt 0}=\sqrt{2\cdot0}\\\\ \sqrt{11+0}+\sqrt{11-0}=\sqrt0\\\\ 2\sqrt{11}=0\to\text{absurdo!}$

• Para x=13 (usaremos a fórmula de radical duplo):
$\sqrt{11+3\sqrt{13}}+\sqrt{11-3\sqrt{13}}=\sqrt{2\cdot13}\\\\ \sqrt{11+\sqrt{117}}+\sqrt{11-\sqrt{117}}=\sqrt{26}\\\\\\ \left(\sqrt{\dfrac{11+\sqrt{121-117}}{2}}+\sqrt{\dfrac{11-\sqrt{121-117}}{2}}\right)+\\+\left(\sqrt{\dfrac{11+\sqrt{121-117}}{2}}-\sqrt{\dfrac{11-\sqrt{121-117}}{2}}\right)=\sqrt{26}\\\\\\2\sqrt{\dfrac{11+\sqrt4}{2}}=\sqrt{26}\\\\ 2\sqrt{\dfrac{11+2}{2}}=\sqrt{26}\\\\ 2\sqrt{\dfrac{13}{2}}=\sqrt{26}\to\text{Ok!}$

Com isso, apenas x=13 satisfaz a equação dada.

Logo, $S=\{13\}$