Question

Resolva A equação irracional. O conjunto solução dela é 5 e 10,mas preciso das contas... Fiquei desde ontem tentando resolver,mas não consegui.

OBS: Sem gracinhas ou terá sua resposta apagada e conta denunciada.


$\sqrt{x + 3 - 4 \sqrt{x - 1} } \: + \sqrt{x + 8 - 6 \sqrt{x - 1} } = 1$
OBS: As equações não estão sendo dividas, estão sendo somadas.​

Answer 1

$\displaystyle \sqrt{\text x+3-4\sqrt{\text x-1}}}+\sqrt{\text x+8-6\sqrt{\text x-1}}=1 \\\\ \underline{\text{Fa{\c c}amos}}: \\\\ \sqrt{\text x-1} = \text a \to \text x = \text a^2+1 \\\\ \sqrt{\text a^2+1+3-4\text a}+\sqrt{\text a^2+1+8-6\text a}=1 \\\\ \sqrt{\text a^2-4\text a+4}+\sqrt{\text a^2-6\text a+9}=1 \\\\ \sqrt{(\text a-2)^2}+\sqrt{(\text a-3)^2} = 1 \\\\ |\text a-2| + |\text a-3| = 1 \\\\\ \underline{1^{\circ} \text{caso}}: \\\\ |\text a-2| \geq 0 \ \text e \ |\text a-3| \geq 0$

$\text a-2+\text a-3=1 \\\\ 2\text a -5 =1 \\\\ 2\text a =6 \\\\ \boxed{\text a =3}$

2ºcaso :

$|\text a-2| <0 \to -(\text a-2) \ \text e \ | \text a-3| \leq 0 \\\\ -\text a +2+\text a-3=1 \\\\ -1=1 \to \text{(absurdo)}$

3ºcaso :

$|\text a -2| < 0 \to -(\text a-2)\ \ \text e \ \ | \text a -3| < 0 \to -(\text a-3) \\\\ -\text a+2-\text a+3=1 \\\\ -2\text a+5 = 1 \\\\ -2\text a= - 4 \\\\ \boxed{\text a = 2}$

Porém queremos o valor de x, então :

$\sqrt{\text x-1}=\text a \\\\ \text{Fa{\c c}amos}: \\\\ \text a = 3 \to \sqrt{\text x-1} = 3 \\\\ \text x-1 = 9 \to \boxed{\text x = 10}$

*

$\text a = 2 \to \sqrt{\text x-1}=2 \\\\ \text x - 1 = 4 \to \boxed{\text x = 5}$

Portanto :

$\huge\boxed{\text S : \text{x = 5 \ ou \ x = 10}\ } \checkmark$