Question

resolva a equação irracional e faça a verificação :
2√x-1=x-1

Answer 1

$2 \sqrt{x-1} =x-1 \\ \\ (2 \sqrt{x-1} )^2=(x-1)^2 \\ \\ 4(x-1)=x^2-2x+1 \\ \\ 4x-4=x^2-2x+1 \\ \\ x^2-2x+1-4x+4=0 \\ \\ x^2-6x+5=0$

Equação de 2º grau resolvendo pelo fórmula de Bhaskara

a=1  b=-6   c=5

$delta =(-6)^2-4.1.5=36-20=16 \\ \\ \sqrt{delta} = \sqrt{16} =4 \\ \\ x_{1} = \frac{-(-6)+4}{2.1} =5 \\ \\ x_{2} = \frac{-(-6)-4}{1.2} =1$

Verificação

$x_{1} =4 \\ \\ 2 \sqrt{5-1} =5-1 \\ \\ 2. \sqrt{4} =4 \\ \\ 2.2=4 \\ \\ 4=4 ok \\ \\ \\ x_{2} =1 \\ \\ 2 \sqrt{1-1} =1-1 \\ \\ 2.0=0 \\ \\ 0=0 ok$

Answer 2

$2\sqrt{x-1}=x-1\quad evelando\;a\;igualdade\;ao\;quadrado,temos\\\\ \left(2\sqrt{x-1}\right)^2=\left(x-1\right)^2 \Rightarrow 4x-4=x^2-2x+1\\\\ = 4x-4-\left(x^2-2x+1\right)\\ = 6x-x^2-5=0$


Resolvendo a equação do segundo grau, temos

Δ = b² - 4 · a· c
Δ = (-6)² - 4 · (-1) · (-5) = 16
Como Δ > 0, há duas raízes reais.

$x = \dfrac{-b +- \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}\\\\ x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16} }{2(-1)} = \frac{-2}{-2} = 1\\\\ x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16} }{2(-1)} = \frac{-10}{-2} = 5$



Temos duas soluções positivas para a equação, x = 1 e x = 5. Verificando a validade, vemos que

para x = 1,

2√(1-1) = 1 - 1 ⇒ 0 = 0 ⇒ verdade

para x = 5,

2√(5-1) = 5 - 1 ⇒ 2√4 = 4 ⇒ 2·2 = 4 ⇒ verdade



Assim, x = 1 e x = 5 são soluções para 2√(x-1) = x - 1.