Resolva a equação do 2° grau a seguir e responda o que se pede. x² -8x + 12 = 0
a) Quais os valores de a,b e c?
b) Quais as raizes da equação?
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Resposta
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viniciusszillo
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Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Sabendo-se que uma equação do segundo grau é uma igualdade do tipo ax²+bx+c=0 (com a necessariamente diferente de zero, caso contrário, o termo ax² zeraria e ter-se-ia uma equação do primeiro grau), inicialmente, para melhor entendimento das demais etapas da resolução, pode-se proceder à determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:
1.x² - 1.x - 12 = 0 (Veja a Observação 1.)
a.x² + b.x + c = 0
Coeficientes: a = 1, b = -1, c = (-12)
OBSERVAÇÃO 1: Quando o coeficiente for 1, ele pode ser omitido, pois está subentendido (assim, em vez de 1.x², tem-se apenas x²). No caso de coeficiente -1, pode-se escrever apenas o sinal de negativo (assim, em vez de -1.x, tem-se -x).
(II)Cálculo do discriminante, utilizando-se dos coeficientes:
Δ = b² - 4 . a . c
Δ = (-1)² - 4 . (1) . (-12) ⇒
Δ = 1 - 4 . (1) . (-12) ⇒
Δ = 1 - 4 . (-12) ⇒ (Veja a Observação 2.)
Δ = 1 + 48 ⇒
Δ = 49
OBSERVAÇÃO 2: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).
→Como o discriminante (Δ) resultou em um valor maior que zero, a equação x²-x-12=0 terá duas raízes diferentes.
(IV)Aplicação da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva de equação do segundo grau), utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:
x = (-b ± √Δ) / 2 . a ⇒
x = (-(-1) ± √49) / 2 . (1) ⇒
x = (1 ± 7) / 2 ⇒
x' = (1 + 7) / 2 = 8/2 ⇒ x' = 4
x'' = (1 - 7) / 2 = -6/2 ⇒ x'' = -3
Resposta: As raízes da equação são -3 e 4.
Outras maneiras, porém mais formais, de indicar a resposta:
S={x E R / x = -3 ou x = 4} (leia-se "o conjunto-solução é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a menos três ou x é igual a quatro") ou
S={-3, 4} (leia-se "o conjunto-solução é constituído pelos elementos menos três e quatro".)
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo x = -3 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
1.x² - 1.x - 12 = 0 ⇒
1 . (-3)² - 1 . (-3) - 12 = 0 ⇒
1 . (-3)(-3) - 1 . (-3) - 12 = 0 ⇒
1 . 9 + 3 - 12 = 0 ⇒
9 + 3 - 12 = 0 ⇒
12 - 12 = 0 ⇒
0 = 0 (Provado que x = -3 é solução (raiz) da equação.)
→Substituindo x = 4 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
1.x² - 1.x - 12 = 0 ⇒
1 . (4)² - 1 . (4) - 12 = 0 ⇒
1 . (4)(4) - 1 . (4) - 12 = 0 ⇒
1 .16 - 4 - 12 = 0 ⇒
16 - 4 - 12 = 0 ⇒
16 - 16 = 0 ⇒
0 = 0 (Provado que x = 4 é solução (raiz) da equação.)