Question

Resolva a equação diferencial y"+5y=0 com os valores de contorno y(0) = 1 e y(1) = 5

Answer 1

Olá,

Calculando as raízes da equação característica teremos:

$y^{2}+5=0\\\\y=+-\sqrt{5}i$

Note que encontramos raízes complexas, logo nossa resposta terá o modelo de:

$y=e^{at}(C1.cos(bt)+C2sen(bt))$

Onde ''a'' é nossa parte real da raiz (0) e ''b'' a parte imaginária.

Substituindo teremos:

$y=e^{0t}.(C1cos(\sqrt{5}t)+C2sen( \sqrt{5}t)) \\ \\ y=C1cos(\sqrt{5}t)+C2sen( \sqrt{5}t)$

Agora basta substituir as condições iniciais dadas pela questão.

$y(0)=1\\\\ 1=C1cos(\sqrt{5}.0)+C2sen( \sqrt{5}.0)\\ \\ 1=C1.1+0\\\\C1=1$

$y(1)=5\\5=1.cos(\sqrt{5}.1)+C2sen( \sqrt{5}.1)\\\\5=cos(\sqrt{5})+C2sen(\sqrt{5})\\\\C2=\frac{5-cos(\sqrt{5})}{sen(\sqrt{5})} = 7,14$

Lembrando que o angulo é dado em radianos.

Logo a resposta é:

$y=cos(\sqrt{5}t)+7,14sen( \sqrt{5}t)$

Espero ter ajudado.