Question

Resolva a equação diferencial usando o fator integrante e assinale a alternativa que corresponde a solução geral:

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial:

$y'-\dfrac{y}{x}-x\cdot e^x=0$

Esta é uma equação diferencial ordinária linear homogênea de primeira ordem. Também pode ser conhecida como Equação de Bernoulli, a qual assume a forma: $y'+P(x)y=Q(x)y^n$, com $n=0$.

Sua solução pode ser calculada pelo método do fator integrante: $\bold{F.~I}=e^{\int P(x)\,dx}$, o qual multiplicamos ambos os lados da igualdade e a propriedade da regra do produto nos permite reescrever a equação.

Substituindo $P(x)=-\dfrac{1}{x}$, calculamos o fator integrante

$\bold{F.~I}=e^{\int\biggr{-\frac{1}{x}}\,dx}$

Calcule a integral, sabendo que $\displaystyle{\int-\dfrac{1}{x}\,dx=\ln\left|\dfrac{1}{x}\right|+C$ e $e^{\ln(f(x))}=f(x)$

$\bold{F.~I}=e^{\int\biggr{-\frac{1}{x}}\,dx}\\\\\\ \bold{F.~I}=e^{\ln\left|\frac{1}{x}\right|}\\\\\\ \bold{F.~I}=\dfrac{1}{x}$

Multiplique ambos os lados da igualdade pelo fator integrante

$\dfrac{1}{x}\cdot\left(y'-\dfrac{y}{x}-x\cdot e^{x}\right)=\dfrac{1}{x}\cdot0\\\\\\ \dfrac{y'}{x}-\dfrac{y}{x^2}-e^x=0$

Some $e^x$ em ambos os lados da igualdade

$\dfrac{y'}{x}-\dfrac{y}{x^2}=e^x$

Observe que podemos reescrever o lado esquerdo da igualdade como: $\dfrac{1}{x}\cdot (y)'+\left(\dfrac{1}{x}\right)'\cdot y=\left(\dfrac{1}{x}\cdot y\right)'$. Assim, teremos:

$\left(\dfrac{1}{x}\cdot y\right)'=-e^x$

Integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$\displaystyle{\int \left(\dfrac{1}{x}\cdot y\right)'\,dx=\int e^x\,dx}$

Sabendo que a solução geral é uma função $y=y(x)$, calculamos as integrais em ambos os lados da igualdade:

• A integral $\displaystyle{\int f'(x)\,dx=f(x)+C$, de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo.
• A integral da função exponencial é a própria função exponencial.

Calcule as integrais

$\dfrac{1}{x}\cdot y+C_1=e^x+C_2$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da igualdade e considere $C_2-C_1=C$

$\dfrac{1}{x}\cdot y=e^x+C$

Multiplique ambos os lados da igualdade por $x,~x>0$

$y=x\cdot(e^x+C),~C\in\mathbb{R}~~\checkmark$

Esta é a família de funções que é solução desta equação diferencial.