Question

Resolva a Equação Diferencial Separável.

Answer 1

Resolução da questão, vejamos:

Peguemos a equação a seguir:

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sqrt{x}+x}{\sqrt{y}-y}}}$

A equação acima é do tipo: f1 (x) • g1 (y) = f2 (x) • g2 (y).

Donde, temos que:

f1 (x) = 1;
g1 (y) = 1;
f2 (x) = (√x) + x;
g2 (y) = 1/(√y) - y.

Transformemos a equação para o tipo: $\mathsf{\dfrac{g_{1}~(y)}{g_{2}~(y)}~\cdot~y'=\dfrac{f_{2}~(x)}{f_{1}~(x)}}}}}$

Vejamos:

Vamos dividir ambas as partes da equação por g2 (y), veja:

$\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt{y}-y}}$

Fazendo isso, teremos que:

$\mathsf{(\sqrt{y}-y)~\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{x}+x}}}$

Agora vamos trabalhar as variáveis "x" e "y" separadamente, multiplicando toda a equação por dx, veja:

$\mathsf{dx~(\sqrt{y}-y)~\dfrac{dy}{dx}=dx(\sqrt{x}+x)}}~\textsf{Ou:}~\mathsf{dy~(\sqrt{y}-y)=dx(\sqrt{x}+x)}}}}$

Pronto, agora ficou fácil, teremos apenas que aplicar a integral nas variáveis x e y (Nas equações anteriores) para encontrarmos o resultado da equação, vejamos:

$\mathsf{\displaystyle\int~(\sqrt{y}-y)~dy=\displaystyle\int~(\sqrt{x}+x)~dx}}$

Através da resolução da integral acima, obteremos a seguinte igualdade:

$\dfrac{2y^{^\frac{3}{2}}}{3}}-\dfrac{y^{2}}{2}=C_{1}}+\dfrac{2x^{^\frac{3}{2}}{3}}}-\dfrac{x^{2}}{2}}}}}$

E, por fim, explicitando a equação para a variável y, teremos como resposta:

$y_{1}=\dfrac{2x^{^\frac{3}{2}}{3}}}+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{2}{3}~y^{^\frac{3}{2}}(x)+\dfrac{1}{2}~y^{2}(x)=C_{1}}}}$

Ou seja, a solução da equação dada acima é $y_{1}=\dfrac{2x^{^\frac{3}{2}}{3}}}+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{2}{3}~y^{^\frac{3}{2}}(x)+\dfrac{1}{2}~y^{2}(x)=C_{1}}}}}}}$

Espero que te ajude. (^.^)

Answer 2

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sqrt{x}+x}{\sqrt{y}-y}}$

$\mathsf{(\sqrt{y}-y)dy=(\sqrt{x}+x)dx}$

$\mathsf{\int(\sqrt{y}-y)dy=\int(\sqrt{x}+x)dx}$

$\mathsf{\dfrac{2}{3}{y}^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{2}{y}^{2}=\dfrac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\dfrac{1}{2}{x}^{2}+k}$