Question

Resolva a equação diferencial linear não homogênea y ′′ + 3 y ′ + 2 y = 2 x 2 + 8 x + 3 . (Ref.: 202012449963) y = a x e − x + b e − 2 x + x 2 + x + 5 2 , a e b reais. y = a e − x + b e − 2 x + x 2 + x − 1 , a e b reais. y = a e − x + b x e − 2 x + x 2 + 2 x , a e b reais. y = 2 a x e x + b e − 2 x + x 2 + x + 1 , a e b reais. y = a e − x + b e − x + x 2 − 2 x + 5 , a e b reais.

Answer 1

Resposta: Letra B

$y(x)=a\, e^{-\,x}+b\, e^{-\,2x}+x^2+x-1,~\text{ a e b reais.}$

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Explicação:

Seja a equação:

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ$\largey''+3y'+2y=2x^2+8x+3$

Para equações diferenciais não homogêneas, a solução geral será a soma entre a solução homogênea e a solução particular.

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Solução homogênea

Inicialmente, considerando a parte homogênea $y''+3y'+2y=0$ da equação diferencial, encontre a equação característica tomando $y=e^{\lambda x}$ como uma solução:

$(e^{\lambda x})''+3(e^{\lambda x})'+2(e^{\lambda x})=0$

$[(e^{\lambda x})'(\lambda x)']'+3(e^{\lambda x})'(\lambda x)'+2e^{\lambda x}=0$

$[\lambda e^{\lambda x}]'+3\lambda e^{\lambda x}+2e^{\lambda x}=0$

$\lambda^2 e^{\lambda x}+3\lambda e^{\lambda x}+2e^{\lambda x}=0$

$e^{\lambda x}\underbrace{(\lambda^2 +3\lambda+2)}_{\text{eq.~caracteristica}}=0$

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Resolvendo essa equação:

$\lambda^2+3\lambda+2=0$

$\lambda^2+\lambda+2\lambda+2=0$

$\lambda(\lambda+1)+2(\lambda+1)=0$

$(\lambda+1)(\lambda+2)=0$

$(\lambda_2+1)=0~\land~(\lambda_1+2)=0$

$\lambda_1=-\,1~\land~\lambda_2=-\,2$

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Para soluções homogêneas $y_h$, existe a relação

$\lambda_1\land\lambda_2\in\mathbb{R}~|~\lambda_1\neq\lambda_2\implies y_h(x)=a\, e^{\lambda_1 x}+b\,e^{\lambda_2 x};~a,b\in\mathbb{R}$

, que se enquadra no caso das raízes $\lambda_1=-\,2$ e $\lambda_2=-\,1$ da equação característica. Logo:

$y_h(x)=a\, e^{-\,x}+b\, e^{-\, 2x}$

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Solução particular

Atente-se à expressão $2x^2+8x+3$ da equação diferencial. Ela é uma equação do 2º grau. Logo, pelo método dos coeficientes a determinar, considere a solução particular $y_p$ na forma:

$y_p(x)=A_0+A_1x+A_2x^2$

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Dela, calcule as derivadas primeira e segunda:

$y_p'=(A_0+A_1x+A_2x^2)'$

$y_p'=(A_0)'+(A_1x)'+(A_2x^2)'$

$\underline{y_p'=A_1+2A_2x}$

$y_p''=(A_1+2A_2x)'$

$y_p''=(A_1)'+(2A_2x)'$

$\underline{y_p''=2A_2}$

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Substituindo-as na equação diferencial juntamente da solução particular propriamente, temos:

$y_p''+3y_p'+2y_p=2x^2+8x+3$

$2A_2+3(A_1+2A_2x)+2(A_0+A_1x+A_2x^2)=2x^2+8x+3$

$2A_2+3A_1+6A_2x+2A_0+2A_1x+2A_2x^2=2x^2+8x+3$

$(2A_2)x^2+(2A_1+6A_2)x+(2A_0+3A_1+2A_2)=2x^2+8x+3$

Por comparação:

$\begin{cases}~2A_2=2\\~2A_1+6A_2=8\\~2A_0+3A_1+2A_2=3\end{cases}\implies\begin{cases}~A_2=1\\~2A_1+6=8\\~2A_0+3A_1+2=3\end{cases}$

$\implies\begin{cases}~A_2=1\\~A_1=1\\~2A_0+3+2=3\end{cases}\implies\begin{cases}~A_2=1\\~A_1=1\\~2A_0=-\,2\end{cases}$

$\implies\begin{cases}~A_2=1\\~A_1=1\\~A_0=-\,1\end{cases}$

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Assim, temos uma solução particular:

$y_p(x)=A_0+A_1x+A_2x^2$

ㅤㅤ  $=-\,1+1x+1x^2$

ㅤㅤ  $=x^2+x-1$

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Solução geral

Como eu disse no inicio da resolução, a solução geral é a soma das duas soluções que encontramos. Então:

$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$

$\blue{\boldsymbol{y(x)=a\, e^{-\,x}+b\, e^{-\,2x}+x^2+x-1~\to~\sf letra~B}}$

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Duvidas? Não hesite em perguntar. Abraços, Nasgovaskov.