Question

Resolva a equação diferencial. EDO
y'(t)=1-y^2/ty

Answer 1

Temos a seguinte equação diferencial:

$y'(t) = \frac{1 - y {}^{2} }{yt}$

Aquela derivada primeira pode ser escrita como:

$\frac{dy}{dt} = \frac{1 - y { }^{2} }{yt}$

Observe que essa equação diferencial é do tipo em que podemos separar as variáveis, então vamos colocar y de um lado e t de outro:

$\frac{y}{1 - y {}^{2} } dy = \frac{dt}{t}$

Agora devemos integrar ambos os lados:

$\int \frac{y}{1 - y {}^{2} } dy = \int \frac{dt}{t}$

Vamos resolver essas integrais separadamente.

• Primeira integral:

A primeira integral pode ser calculada através do método da substituição, pois temos a função e a sua derivada dentro da integral. Sabendo disso vamos dizer que u = 1 - y² e em seguinte derivá-la:

$u = 1 - {y}^{2} \longrightarrow \frac{dy}{dy} = - 2 y \longrightarrow - \frac{du}{2} = y \: d y$

Substituindo os dados relacionados a "u":

$\int \frac{ - \frac{ du}{2} }{u} \longrightarrow - \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} \longrightarrow - \frac{1}{2} . \ln( |1 - y {}^{2} | ) + k_1$

• Segunda integral:

Essa integral é bem básica, pois ela é conhecida:

$\int \frac{dt}{t} \longrightarrow \ln( |t| ) + k_2$

Substituindo esses dados que obtivemos na equação que paramos ali em cima:

$- \frac{1}{2} \ln( |1 - y {}^{2} | ) = \ln ( |t| ) + \underbrace{k_2 - k_1}_{k} \\ \\ - \frac{1}{2} \ln( |1 - y {}^{2} | ) = \ln( |t| ) + k$

Vamos multiplicar ambos os lados por -2 para que possamos cancelar aquele termo -1/2 do primeiro membro da equação:

$- \frac{1}{2} \ln( |1 - y {}^{2} | ) = \ln( |t| ) + k \: \: .( - 2) \\ \\ \ln( | 1 - y {}^{2} | ) = - 2 \ln( |t| ) - 2k$

O termo -2k não deixa de ser constante, então permanecerá a soma de k. Agora vamos aplicar a definição de logarítmo:

$\log_{e}( | 1 - y {}^{2} | ) = - 2 \ln( |t)| + k \\ \\ |1 - y {}^{2} | = e {}^{( - 2 \ln ( |t| )+ k)}$

Podemos aplicar a seguinte propriedade naquela expressão que contém um expoente:

$\boxed{x {}^{y \pm z} = x {}^{y} .z {}^{z} }$

Aplicando a relação no segundo membro:

$| 1 - y {}^{2} | = e {}^{ - 2 \ln( |t|) } .e {}^{k}$

O número de euler elevado a uma contante permanence sendo uma constante, então:

$|1 - y {}^{2} | =e {}^{ - 2 \ln( |t| )} .k$

Aquele módulo corresponde a um sinal de ± no segundo membro, então:

$1 - y {}^{2} = \pm e {}^{ - 2 \ln( |t| )} .k$

Tanto faz a constante ser negativa ou positiva, então podemos esquecer esse sinal de ±. Agora vamos lembrar da propriedade de logarítmos que fala que quando temos um número na frente do log, podemos passar como um expoente:

$1 - y {}^{2} = (e {}^{ \ln( |t| )} ) {}^{ - 2} .k$

Como sabemos, o logaritmo neperiano possui uma base com o número de euler, então:

$1 - y {}^{2} = e {}^{ \log_{e}( |t| ) }.k$

Aplicando mais uma propriedade de logarítmos, que nos diz que:

$\boxed{a {}^{ \log_{a}(b) } = b}$

Então podemos dizer que:

$1 - y {}^{2} = |t| {}^{ - 2} .k$

Vamos relevar esse módulo, pois como está ao quadrado sempre será positivo. Aplicando a propriedade de potência de expoente negativo, teremos que:

$1 - y {}^{2} = \frac{1}{t {}^{2} } .k \\ 1 - y {}^{2} = \frac{k}{t {}^{2} } \: \: \: \: \\ y {}^{2} = \frac{k}{t {}^{2} } + 1 \: \: \: \\ \boxed{\boxed{y = \pm \sqrt{ \frac{k + t {}^{2} }{t {}^{2} } } }}$

Espero ter ajudado