Question

Resolva a equação: Cos 2x + 1 = Cos² x

Explique a resolução.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

$\cos{(2x)}+1=\cos^2{(x)}$

Lembre-se que $\cos{(a+b)}=\cos{(a)}\cos{(b)} - \sin{(a)}\sin{(b)}$, para quaisquer $a$ e $b$.

Logo, temos

$\cos{(x+x)}+1=\cos^2{(x)}\\\\\cos^2{(x)} - \sin^2{(x)}+1=\cos^2{(x)}$

Cancelando $\cos^2{(x)}$ em ambos os lados, temos

$- \sin^2{(x)}+1=0\\\\ 1=\sin^2{(x)}$

Aplicando raiz quadrada em ambos os lados, temos

$\sin{(x)}=\pm 1$

Ao analisar o Ciclo Trignométrico, percebemos que os ângulos que fazem o seno ser igual a $1$ ou $- 1$ são $\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}\pm \pi$, etc.

(OBS.: Estou escrevendo os ângulos em radianos. Lembre-se que $\frac{\pi}{2}$ rad $=90$º)

Sendo assim, a solução $x$ é da forma

$x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ , para qualquer $k\in\mathbb{Z}$ (isto é, para qualquer $k$ inteiro).