Question

Resolva a equaçao completando o quadrado x²+5x-9=0

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a expressão procurada com os quadrados completados é:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S =\left\{-\frac{\sqrt{61} - 5}{2},\,\frac{\sqrt{61} - 5}{2}\right\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

A técnica de completar quadrados é muito importante quando desejamos reescrever uma expressão do segundo grau para a forma:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')^{2} + k\end{gathered}$

Onde:

 $\Large\begin{cases} x' = Raiz\:de\:multiplicidade\:2\\k = Constante\:pertencente\:aos\:reais\end{cases}$

Seja a equação do segundo grau:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 5x - 9 = 0\end{gathered}$

Para começar a operação de completar quadrados, devemos passar o termo independente para o segundo membro:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 5x = 9\end{gathered}$

Agora devemos adicionar a ambos os membros da equação o quadrado da metade do coeficiente do termo de "x", ou seja:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 5x + \bigg(\frac{5}{2}\bigg)^{2} = 9 + \bigg(\frac{5}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$

Resolver as operações e simplificar os cálculos:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x^{2} + 5x + \frac{5^{2}}{2^{2}} = 9 + \frac{5^{2}}{2^{2}}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 5x + \frac{25}{4} = 9 + \frac{25}{4}\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 5x + \frac{25}{4} = \frac{61}{4}\end{gathered}$

Chegando neste ponto devemos escrever de forma fatorada o primeiro membro da equação. Desta forma, temos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bigg(x + \frac{5}{2}\bigg)^{2} = \frac{61}{4}\end{gathered}$

Se o intuito da questão é resolver a equação completando quadrados, então temos:

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x + \frac{5}{2} = \pm\sqrt{\frac{61}{4}}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x + \frac{5}{2} = \pm\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{4}}\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x + \frac{5}{2} = \pm\frac{\sqrt{61}}{2}\end{gathered} }$

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x = \pm\frac{\sqrt{61}}{2} - \frac{5}{2}\end{gathered} }$

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x = \pm\frac{\sqrt{61} - 5}{2}\end{gathered} }$

Obtendo as raízes temos:

                           $\LARGE\begin{cases} x' = -\frac{\sqrt{61} - 5}{2}\\x'' = \frac{\sqrt{61} - 5}{2}\end{cases}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S =\left\{-\frac{\sqrt{61} - 5}{2},\,\frac{\sqrt{61} - 5}{2}\right\}\end{gathered} }$

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