Question

Resolva a equação:

A) (n+1)! = 90
(n-1)!

ME AJUDEM!!!!

Answer 1

$\frac{(n+1)!}{(n-1)!} =90 \\ \\ \frac{(n+1).n.(n-1)!}{(n-1)!} =90 \\ \\ (n+1).n=90 \\ \\ n^{2} + n = 90 \\ \\ n^{2} + n - 90 = 0$

n² + n - 90 = 0

Δ = 1² - 4.1.(-90)

Δ = 1 + 360

Δ = 361

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2} \\ \\ n = \frac{-1 \pm 19}{2} \\ \\ n_1 = \frac{-1+ 19}{2} = \frac{18}{2} = 9 \\ \\ n_1 = \frac{-1- 19}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Vamos testar:

Para n = 9

$\frac{(n+1)!}{(n-1)!} =90 \\ \\ \frac{(9+1)!}{(9-1)!} =90 \\ \\ \frac{10!}{8!} =90 \\ \\ \frac{10 . 9 . 8!}{8!} =90 \\ \\ 10.9 = 90 \\ \\ 90 = 90$

Ok.

Agora para n = -10

$\frac{(n+1)!}{(n-1)!} =90 \\ \\ \frac{(-10+1)!}{(-10-1)!} =90 \\ \\ \frac{-9!}{-11!} =90$

Não convém, pois não existe fatorial negativo.

Então

n = 9

Answer 2

Vamos expandir o (n+1)! até (n-1)! para podermos "cortá-lo" com o (n-1)! do denominador e tirarmos a função fatorial da jogada. Esquece o 90, vou primeiro expandir o lado esquerdo da equação. Ficamos assim:

$\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = \frac{(n+1)(n)(n-1)!}{(n-1)!} = (n+1)(n) = n^2 + n$

Logo, n² + n = 90

n² + n - 90 = 0

Δ = (1)² - 4(1)(-90) = 1 + 360 = 361

√Δ = 19

n₁ = -1 + 19 / 2(1) = 18 / 2 = 9

n₂ será raiz negativa, então nem convém acharmos, já que não existe fatorial de número não natural.

Desse modo, n = 9

Conjunto solução: S = {9}