Question

resolva a equacao
 8 elevado a x = raiz quadrada 32

Answer 1

Propriedades de potenciação utilizadas:

$(x^{a})^{b}=x^{a*b}$
$\sqrt[n]{x^{a}}=x^{a/n}$

Propriedade logarítmica utilizada:

$log_{b}(a^{n})=n*log_{b}(a)$
_____________________________

$8^{x}=\sqrt{32}$

Devemos igualar as bases, ou aplicar logaritmo

Igualando as bases:

$8^{x}=\sqrt{32}\\(2^{3})^{x}=\sqrt{2^{5}}\\2^{3x}=2^{5/2}\\3x=5/2\\2*3x=5\\6x=5\\x=5/6$
___________

Aplicando logaritmo nos 2 lados da equação:

$8^{x}=\sqrt{32}\\log~8^{x}=log~\sqrt{32}\\x*log~8=log~\sqrt{2^{5}}\\x*log~2^{3}=log~2^{5/2}\\x*3*log~2=(5/2)*log~2$

Cortando log 2 dos 2 lados da equação:

$x*3=5/2\\2*x*3=5\\6x=5\\x=5/6$
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Supondo que 5/4 seja a solução da equação:

$8^{x}=\sqrt{32}\\8^{(5/4)}=\sqrt{2^{5}}\\(2^{3})^{(5/4)}=\sqrt[2]{2^{5}}\\2^{(15/4)}=2^{(5/2)}$

Como 2 elevado a 15/4 pode ser igual a 2 elevado a 5/2?

x = 5/4 não é solução da equação.

Testando x = 5/6:

$8^{x}=\sqrt{32}\\8^{(5/6)}=\sqrt{2^{5}}\\(2^{3})^{(5/6)}=2^{(5/2)}\\2^{(15/6)}=2^{(5/2)}\\2^{(5/2)}=2^{(5/2)}$

x = 5/6 é solução