Question

Resolva a equação

3tan²x-4sen²x+sec²x=10
para
x  ∈ [0,2π]

Answer 1

Oi Gugu.

Dada a equação:

$3tg^2x-4sen^2x+sec^2x=10$

Segundo a relação fundamental nós temos:

$tg^{ 2 }+1=sec^{ 2 }x$

Fazendo a substituição nós teremos:

$3tg^{ 2 }x-4sen^{ 2 }x+tg^{ 2 }x+1=10$

Somando os termos semelhantes e passando aquele 1 para o outro lado encontraremos:

$4tg^{ 2 }x-4sen^{ 2 }x=9$

A tangente pode ser entendida como:

$4\frac { sen^2x }{ cos^2x } -4sen^{ 2 }x=9$

Pela relação fundamental nós temos:

$sen^{ 2 }x+cos^{ 2 }x=1\\ cos^{ 2 }x=1-sen^{ 2 }x$

Fazendo a substituição acharemos:

$4\frac { sen^{ 2 }x }{ 1-sen^{ 2 }x } -4sen^{ 2 }x=9$

Passando aquele 1-sen²x para o outro lado multiplicando.

$4sen^{ 2 }x-4sen^{ 2 }x=9(1-sen^{ 2 }x)$

Somando os termos semelhantes e fazendo a distributiva.

$0=9-9sen^{ 2 }x$

Passando o -9sen²x para o outro lado e o 9 dividindo.

$9sen^{ 2 }x=9\\ sen^{ 2 }x=\frac { 9 }{ 9 } \\ \\ sen^{ 2 }x=1\\ senx=\pm \sqrt { 1 } \\ senx=\pm 1$

O seno vale 1 no 90°
O seno vale -1 no 270°

$\Huge \boxed{\boxed {S=\{ \frac { \pi }{ 2 } ,\frac { 3\pi }{ 2 } \} }}$