Question

Resolva a equação:3+7+11+.....+x=465  (matéria de P.A)

Answer 1

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Resolver a equação
 
     3 + 7 + 11 + ... + x = 465

sabendo que as parcelas do lado esquerdo estão em progressão aritmética.


A progressão
 
     (3, 7, 11, ..., x)

é uma P.A. com  n  termos, na qual

     •   o 1º termo é  $\mathsf{a_1=3;}$

     •   o último termo é  $\mathsf{a_n=x;}$

     •   a razão é  $\mathsf{r=7-3=4.}$


Pela fórmula do termo geral, temos que
 
     $\mathsf{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}\\\\ \mathsf{x=3+(n-1)\cdot 4}\\\\ \mathsf{x=3+4n-4}\\\\\mathsf{x=-1+4n\qquad\quad(i)}$

para  n  natural positivo.


A soma dos  n  termos dessa P.A. é igual a  465.  Logo, devemos ter

     $\mathsf{S_n=465}\\\\ \mathsf{\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}=465}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(a_1+x)\cdot n}{2}=465}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\big[3+(-1+4n)\big]\cdot n}{2}=465}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{[3-1+4n]\cdot n}{2}=465}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{[2+4n]\cdot n}{2}=465}$

     $\mathsf{\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot [1+2n]\cdot n}{\diagup\!\!\!\! 2}=465}\\\\\\ \mathsf{[1+2n]\cdot n=465}\\\\ \mathsf{n+2n^2=465}\\\\ \mathsf{2n^2+n-465=0}\quad\longleftarrow\quad\textsf{equa\c{c}\~ao quadr\'atica.}$


Poderíamos resolver a equação acima usando a fórmula resolutiva (Báscara). Mas aqui, vamos usar fatoração por agrupamento.

     $\mathsf{2n^2+n-465=0}\quad\longrightarrow\quad\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{a=2}\\\mathsf{b=1}\\\mathsf{c=-465} \end{array} \right.$


A ideia consiste em procurar dois números de modo que

     •   a soma deles é  b = 1;

     •   o produto entre eles é  a · c = 2 · (– 465) = – 930.


Procurando entre os divisores inteiros de  – 930,  verifica-se que

     •   + 31 – 30 = 1          ✔

     •   (+ 31) · (– 30) = – 930          ✔


Então, os números de interesse são  + 31  e  – 30.


Reescreva convenientemente a equação,  expressando  + n  como  + 31n – 30n:

     $\mathsf{2n^2+31n-30n-465=0}\\\\ \mathsf{2n^2+31n-30n-15\cdot 31=0}$


Fatore por agrupamento, colocando  n  em evidência nos dois primeiros termos, e  15  em evidência nos dois últimos termos do lado esquerdo:

     $\mathsf{n\cdot (2n+31)-15\cdot (2n+31)=0}$


Coloque o fator comum  2n + 31  em evidência:
 
     $\mathsf{(2n+31)\cdot (n-15)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{2n+31=0}&\textsf{ ou }&\mathsf{n-15=0}\\\\ \mathsf{2n=-\,31}&\textsf{ ou }&\mathsf{n=15}\\\\ \mathsf{n=-\,\dfrac{31}{2}}&\textsf{ ou }&\mathsf{n=15} \end{array}$


Como  n  é natural, descartamos a primeira solução. Temos então que

     $\mathsf{n=15}\quad\longleftarrow\quad\textsf{n\'umero de termos da P.A.}$


Agora, encontramos o valor de  x  usando a equação  (i):

     $\mathsf{x=-1+4n}\\\\ \mathsf{x=-1+4\cdot 15}\\\\ \mathsf{x=-1+60}\\\\ \mathsf{x=59}\quad\longleftarrow\quad\textsf{solu\c{c}\~ao da equa\c{c}\~ao.}$


Bons estudos! :-)