Question

Resolva a equação 2cos2x−senx−1=0 no intervalo 0⩽x⩽2π

Answer 1

Olá vamos lá!

$2 cos^{2} (x) - sen (x) - 1 = 0$

Primeiro substitui o valor $2cos(x)$ com $2 (1 - sen2 (x))$ com basamento na identidade:

$sin^{2} (x) + cos^{2} (x) = 1$

Agora simplifica-se cada termo aplicando a propriedade distributiva:

$2 * 1 + 2 ( -sen^{2} (x)) - sen (x) - 1 = 0$


$2 + 2 (- sen^{2} (x)) - sen (x) - 1 = 0$

Multiplica - 1 por 2  para obtener - 2

$- 2 sen^{2} (x) - sen (x) - 1 = 0$


Restar 1  de 2  para obtener 1:

$- 2 sen^{2} (x) - sen (x) + 1 = 0$


Factorize o agrupamento, sabendo que Para um polinômio da forma $a x^{2} + bx + c$ tem que reescrever o termo do meio como uma somade dois termos cujo produto á $a * c = -2 * 1 = -2$ e cuja soma $b = -1$

Agora factoriza  -1 a apartir do - sen(x)

$- 2 sin^{2} (x) - (sen (x)) + 1 = 0$

$-2 sen^{2} (x) + ( -2 + 1) sen (x) + 1 = 0$

$- 2 sen^{2} (x) + (-2 sen (x) + 1 sin (x)) + 1 = 0$

$- 2 sen^{2} (x) + (-2 sen (x) + sin (x)) + 1 = 0$

$- 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + sin (x) + 1 = 0$


Agora Fatorizar o máximo comum denominador  de cada grupo.

$2 sen (x) (- sen (x) - 1) - 1 (-sen (x) - 1) = 0$

$(- sen (x) - 1) (2 sen (x) - 1) = 0$


Agora sabendo que qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a, a expressão completa será igual a 0:

−sin (x) − 1 = 02 sin (x) − 1 = 0
Agora so tem que igualar o primeiro fator e resolver:


$x = \frac{3\pi}{2}$  ± π2n

Iguala o seguinte fator a 0  y resolve.

$x = \frac{\pi}{6}$  ± π2n ; $x = \frac{5\pi}{6}$  ± π2n

A solução final é todos os valores que fazem $( -sen (x) - 1) (2 sen (x) - 1) = 0$ verdadeiro:


Assim 


x = $\frac{3\pi}{2}$  ± π2n; $\frac{\pi}{6}$  ± π2n ; $\frac{5\pi}{6}$  ± π2n


$x = \frac{3 \pi}{2} ; \frac { \pi}{6} ; \frac{5 \pi}{6}$


Assim:

- O intervalo [0; 6,28318530] contém, $\frac{3 \pi}{2}$

- O Intervalo [0; 6,28318530] contém,$\frac{ \pi}{6}$

- O Intervalo [0; 6,28318530] contém,$\frac{5 \pi}{6}$


A solução final é S = { $\frac{3 \pi}{2}; \frac{ \pi}{6} ; \frac{5 \pi}{6} }$ }