Question

Resolva a equação 2^(2x+1) + 3^(2x+1) = 5.6^x

Answer 1

$2^{2x+1}+3^{2x+1}=5\cdot 6^{x}\\ \\ 2^{2x}\cdot 2^{1}+3^{2x}\cdot 3^{1}=5\cdot 6^{x}\\ \\ 2\cdot 2^{2x}+3\cdot 3^{2x}=5\cdot 6^{x}\\ \\ 2\cdot (2^{x})^{2}+3\cdot (3^{x})^{2}=5\cdot (2\cdot 3)^{x}\\ \\ 2\cdot (2^{x})^{2}+3\cdot (3^{x})^{2}=5\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}$


Como $(3^{x})^{2}$ é maior que zero para qualquer valor de $x,$ podemos dividir os dois lados da equação por $(3^{x})^{2}:$

$\dfrac{2\cdot (2^{x})^{2}+3\cdot (3^{x})^{2}}{(3^{x})^{2}}=\dfrac{5\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}}{(3^{x})^{2}}\\ \\ \\ \dfrac{2\cdot (2^{x})^{2}}{(3^{x})^{2}}+\dfrac{3\cdot (3^{x})^{2}}{(3^{x})^{2}}=\dfrac{5\cdot 2^{x}\cdot \diagup\!\!\!\!\! 3^{x}}{(3^{x})^{\diagup\!\!\!\!2}}\\ \\ \\ 2\cdot \dfrac{(2^{x})^{2}}{(3^{x})^{2}}+3=5\cdot \dfrac{2^{x}}{3^{x}}\\ \\ \\ 2\cdot \left[\left(\dfrac{2}{3} \right )^{x} \right ]^{2}+3=5\cdot \left(\dfrac{2}{3} \right )^{x}$


Fazendo a seguinte mudança de variável na equação acima

$t=\left(\dfrac{2}{3} \right )^{x},\;\;\;(t>0)$

temos:


$2t^{2}+3=5t\\ \\2t^{2}-5t+3=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=2\\b=-5\\c=3 \end{array} \right.\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-5)^{2}-4\cdot 2\cdot 3\\ \\ \Delta=25-24\\ \\ \Delta=1\\ \\ \\ t=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ t=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 2}\\ \\ \\ t=\dfrac{5\pm 1}{4}\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} t=\dfrac{5-1}{4}&\,\text{ ou }\,&t=\dfrac{5+1}{4}\\ \\ t=\dfrac{4}{4}&\,\text{ ou }\,&t=\dfrac{6}{4}\\ \\ t=1&\,\text{ ou }\,&t=\dfrac{3}{2} \end{array}$


Voltando à variável original $x,$ temos

$\begin{array}{rcl} \left(\dfrac{2}{3} \right )^{x}=1&\,\text{ ou }\,&\left(\dfrac{2}{3} \right )^{x}=\dfrac{3}{2}\\ \\ \left(\dfrac{2}{3} \right )^{x}=\left(\dfrac{2}{3} \right )^{0}&\,\text{ ou }\,&\left(\dfrac{2}{3} \right )^{x}=\left(\dfrac{2}{3} \right )^{-1} \end{array}\\ \\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} x=0&\,\text{ ou }\,&x=-1 \end{array} }$


O conjunto solução é $S=\{-1,\,0\}.$