Question

Resolva a equação:
12x! + 5(x+1)! = (x+2)!

Answer 1

De acordo com os cálculos abaixo, a resposta é  $x\in\{5\}$.

Vamos entender o porquê?

Para resolver esta equação, devemos lembrar a notação de Fatorial (!):

$a!=a\times(a-1)\times(a-2)\times(a-3)\times...\times3\times2\times1$

Com isto em mente, passemos aos cálculos:

    $12x!+5(x+1)!=(x+2)!\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow12\;\,/\!\!\!\!\!x!+5(x+1)\;\,/\!\!\!\!\!x!=(x+2)(x+1)\;\,/\!\!\!\!\!x!\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow12+5(x+1)=(x+2)(x+1)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow12+5x+5=x^2+x+2x+2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow17+5x=x^2+3x+2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow0=x^2+3x+2-5x-17\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow0=x^2-2x-15\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^2-2x-15=0$

    $x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times1\times(-15)}}{2\times1}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4\times(-15)}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+60}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{64}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm8}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2-8}{2}\quad\vee\quad x=\dfrac{2+8}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-6}{2}\quad\vee\quad x=\dfrac{10}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=-3\quad\vee\quad x=5$

$\therefore\quad x\in\{-3\;;\;5\}$

Como não estão definidos os fatoriais para números negativos, aceitamos apenas a solução positiva.

Assim, conclui-se que a solução da equação é  $x\in\{5\}$.

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