Question

Resolva a equação 1+4+7+ ... +x=590, sabendo que os termos do 1. membro formam uma PA

Answer 1

O lado direito forma uma PA de a1  = 1 e r = 4 - 1 = 3

Logo podemos usar formulas de PA para descobrir o numero de elementos e aplicar formula de soma de PA para achar x:

$a_n=a_1+r(n-1)\\\\\\x=1+3(n-1)\\\\x=1+3n-3\\\\x+2=3n\\\\n=\dfrac{x+2}{3}$

Agora que sabemos o numero de elementos n em termos de x, podemos aplicar a formula de soma de PA:

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\\\\\\S_n=\dfrac{\frac{x+2}{3}(1+x)}{2}$

Agora que sabemos o falor da soma em termos de x podemos substituitr na equacao:

$\dfrac{\frac{x+2}{3}(1+x)}{2}=590\\\\\\\dfrac{x+2}{3}(1+x)=2\cdot590\\\\\\(x+2)(1+x)=2\cdot590\cdot3\\\\\\x+x^2+2+2x=3540\\\\\\x^2+3x+2=3540\\\\\\x^2+3x-3538=0\\\\\\\Delta=3^2-4(-3538)=9+14152=14161\\\\\\x=\dfrac{-3\pm\sqrt{14161}}{2}=\dfrac{-3\pm119}{2}\\\\\\x=58\ ou\ x=-61$

Como a PA eh crescente podemos ignorar o resultado negativo, logo x=58