Question

Resolva a EDO de 1ª ordem homogênea por substituição algébrica (y = ux ou x = vy). (2xy + y^2) dx – 2x^2dy = 0

Answer 1

$\mathsf{(2xy+y^2)dx-2x^2dy=0}\\\mathsf{2x^2dy=(2xy+y^2)dx}\\\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2xy+y^2}{2x^2}}$

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2xy}{2x^2}+\dfrac{y^2}{2x^2}}\\\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{y}{x})^2}$

Faça

$\mathsf{v=\dfrac{y}{x}\to~y=vx}\\\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}(v.x)=x\dfrac{dv}{dx}+v}$

Substituindo temos :

$\mathsf{x\dfrac{dv}{dx}+v=v+\dfrac{1}{2}v^2}\\\mathsf{x\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{1}{2}v^2}\\\mathsf{\dfrac{dv}{v^2}=\dfrac{1}{2}\dfrac{dx}{x}}$

Integrando dos dois lados temos:

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{dv}{v^2}=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{x}}$

$\mathsf{-\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{2}ln|x|+k}\\\mathsf{v=-\dfrac{2}{ln|x|}+k}$

Como $\mathsf{v=\dfrac{y}{x}}$ vamos substituir:

$\mathsf{\dfrac{y}{x}=-\dfrac{2}{ln|x|}+k}$

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{y=\dfrac{-2x}{ln|x|}+k}}}}}$