Question

Resolva 3seno²x + senox.cosx = 2sen²x + 2senx.cosx para 0 <= x <= 2π (valor exato)

Answer 1

$3\mathrm{\,sen^{2}\,}x+\mathrm{sen\,}x\cos x=2\mathrm{\,sen^{2}\,}x+2\mathrm{\,sen\,}x\cos x\\ \\ 3\mathrm{\,sen^{2}\,}x-2\mathrm{\,sen^{2}\,}x+\mathrm{sen\,}x\cos x-2\mathrm{\,sen\,}x\cos x=0\\ \\ \left(3-2 \right )\mathrm{sen^{2}\,}x+\left(1-2 \right )\mathrm{sen\,}x\cos x=0\\ \\ \mathrm{\,sen^{2}\,}x-\mathrm{sen\,}x\cos x=0\\ \\ \mathrm{\,sen\,}x \cdot \left(\mathrm{sen\,}x-\cos x \right )=0$


Vamos transformar uma soma em produto para facilitar a resolução, utilizando a fórmula

$\cos\left a - \cos b=-2\cdot \mathrm{sen}\left(\dfrac{a+b}{2} \right )\cdot \mathrm{sen}\left(\dfrac{a-b}{2} \right )$


Então, temos

$\mathrm{sen\,}x-\cos x \right )\\ \\ =\cos\left(^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{2}-x \right )-\cos x\\ \\ =-2\cdot \mathrm{sen}\left(\dfrac{\left(^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{2}-x \right )+x}{2} \right )\cdot \mathrm{sen}\left(\dfrac{\left(^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{2}-x \right )-x}{2}\right)\\ \\ =-2\cdot \mathrm{sen\,}^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}\cdot \mathrm{sen}\left(\dfrac{^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{2}-2x}{2}\right )\\ \\ =-2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \mathrm{sen}\left(^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}-x \right )\\ \\ =-\sqrt{2}\mathrm{\,sen}\left(^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}-x \right )$


Substituindo na equação, temos

$\mathrm{\,sen\,}x \cdot \left(-\sqrt{2}\mathrm{\,sen}\left(^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}-x \right ) \right )=0\\ \\ -\sqrt{2}\cdot \mathrm{sen\,}x \cdot \mathrm{sen}\left(^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}-x \right )=0\\ \\ \mathrm{sen\,}x \cdot \mathrm{sen}\left(^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}-x \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} \mathrm{sen\,}x=0&\text{ ou }&\mathrm{sen}\left(^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}-x \right )=0 \end{array}$


Vamos resolver separadamente cada uma destas equações acima, para o intervalo $0\leq x \leq 2\pi$

a) $\mathrm{sen\,}x=0$

$\begin{array}{rcl} x=0+k\cdot 2\pi&\text{ ou }&x=\pi+k\cdot 2\pi \end{array}$

$\bullet$  para $k=0$

$\begin{array}{rcl} x=0&\text{ ou }&x=\pi \end{array}$


$\bullet$  para $k=1$

$\begin{array}{rcl} x=2\pi&\text{ ou }&x=3\pi \end{array}$

(não servem, pois estes valores não estão no intervalo desejado)


b) $\mathrm{sen}\left(^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}-x \right )=0$

$\begin{array}{rcl} ^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}-x=0+k\cdot2\pi&\text{ ou }&^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}-x=\pi+k\cdot2\pi\\ \\ x=\,^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}-k\cdot 2\pi&\text{ ou }&x=\,^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}-\pi-k\cdot 2\pi\\ \\ x=\,^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}-k\cdot 2\pi&\text{ ou }&x=\,^{-3\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}-k\cdot 2\pi \end{array}$


$\bullet$  para $-k=0$

$\begin{array}{rcl} x=\,^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}&\text{ ou }&x=\,^{-3\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}\;\;\;\text{(n\~{a}o serve)} \end{array}$


$\bullet$  para $-k=1$

$\begin{array}{rcl} x=\,^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}+2\pi&\text{ ou }&x=\,^{-3\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}+2\pi\\ \\ x=\,^{9\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}\;\;\;\text{(n\~{a}o serve)}&\text{ ou }&x=\,^{5\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4} \end{array}$


$\bullet$  para $-k=2$

$\begin{array}{rcl} x=\,^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}+4\pi&\text{ ou }&x=\,^{-3\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}+4\pi\\ \\ x=\,^{17\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4}&\text{ ou }&x=\,^{13\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4} \end{array}$

(não servem, pois estes valores não estão no intervalo desejado)


Logo, o conjunto solução é

$S=\left\{0,\,^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4},\,\pi,\,^{5\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{4} \right \}$