Question

Resolução das questões sobre trigonometria

Answer 1

C.83

$5\cdot \sec x-3\cdot \mathrm{tg^{2}\,}x=1$


Vamos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:

$1+\mathrm{tg^{2}\,}x=\sec^{2}x\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{tg^{2}\,}x=\sec^{2}x-1$


Substituindo na equação, temos

$5\cdot \sec x-3\cdot (\sec^{2}x-1)=1$


Vamos fazer a seguinte mudança de variável:

$\sec x=t\;\;\;\;\text{(com }t\leq -1\;\text{ ou }\;t\geq 1\text{)}$


Substituindo, a equação fica

$5\cdot t-3\cdot (t^{2}-1)=1\\ \\ 5t-3t^{2}+3=1\\ \\ 3t^{2}-5t+1-3=0\\ \\ 3t^{2}-5t-2=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=3\\b=-5\\c=-2 \end{array} \right.\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-5)^{2}-4\cdot 3\cdot (-2)\\ \\ \Delta=25+24\\ \\ \Delta=49\\ \\ \\ t=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ t=\dfrac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2\cdot 3}\\ \\ \\ t=\dfrac{5 \pm 7}{6}$


$\begin{array}{rcl} t=\dfrac{5+7}{6}&\text{ ou }&t=\dfrac{5-7}{6}\\ \\ t=\dfrac{12}{6}&\text{ ou }&t=\dfrac{-2}{6}\\ \\ t=2&\text{ ou }&t=-\dfrac{1}{3}\text{ (n\~{a}o serve)}\\ \\ &t=2& \end{array}$


Substituindo de volta para a variável $x,$ temos que

$\sec x=2\\ \\ \dfrac{1}{\cos x}=2\\ \\ \\ \cos x=\frac{1}{2}\\ \\ \\ x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=-\dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi \end{array}}$


com $k$ inteiro.


$\bullet\;\;$ Encontrando o seno e o cosseno:

$\cos x=\dfrac{1}{\sec x}\;\;\Rightarrow\;\;\cos x=\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$


O sinal do seno vai depender de qual quadrante o arco $x$ se encontra.

Se $x$ estiver no 1º quadrante, o seno é positivo: $\mathrm{sen\,}x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
 

Se $x$ estiver no 4º quadrante, o seno é negativo. $\mathrm{sen\,}x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

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C.84

$\mathrm{sen^{2}}x-5\cdot \mathrm{sen\,}x\cdot \cos x+\cos^{2}x=3$


$x=\dfrac{k\pi}{2}$ não é solução para a equação dada. Logo, $\cos x \neq 0.$


Dividindo os dois lados da equação por $\cos^{2}x,$ temos

$\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2}x}-5\cdot \dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos\,x}+1=\dfrac{3}{\cos^{2}x}\\ \\ \\ \mathrm{tg^{2}\,}x-5\cdot \mathrm{tg\,}x+1=3\sec^{2} x$


Utilizaremos a mesma identidade da questão anterior:

$1+\mathrm{tg^{2}\,}x=\sec^{2}x$


Substituindo na equação, temos

$\mathrm{tg^{2}\,}x-5\cdot \mathrm{tg\,}x+1=3\cdot (1+\mathrm{tg^{2}\,}x)$


Vamos fazer a seguinte mudança de variável:

$\mathrm{tg\,}x=t$


Substituindo, a equação fica

$t^{2}-5\cdot t+1=3\cdot (1+t^{2})\\ \\ t^{2}-5t+1=3+3t^{2}\\ \\ 3t^{2}-t^{2}+5t+3-1=0\\ \\ 2t^{2}+5t+2=0\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=2\\b=5\\c=2 \end{array} \right.\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=5^{2}-4\cdot 2\cdot 2\\ \\ \Delta=25-16\\ \\ \Delta=9\\ \\ \\ t=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ t=\dfrac{-5\pm \sqrt{9}}{2\cdot 2}\\ \\ \\ t=\dfrac{-5\pm 3}{4}$

$\begin{array}{rcl} t=\dfrac{-5-3}{4}&\;\text{ ou }\;&t=\dfrac{-5+3}{4}\\ \\ t=\dfrac{-8}{4}&\;\text{ ou }\;&t=\dfrac{-2}{4}\\ \\ t=-2&\;\text{ ou }\;&t=-\dfrac{1}{2} \end{array}$


Substituindo de volta para a variável $x,$ temos

$\boxed{\begin{array}{rcl} \mathrm{tg\,}x=-2&\;\text{ ou }\;&\mathrm{tg\,}x=-\dfrac{1}{2} \end{array}}$