Question

Reescreva o seguinte número complexo em sua forma trigonométrica Z= 5+5√3i

Answer 1

Utilizando definição de números complexos, temos que $z=10e^{i\frac{\pi}{3}}$

Explicação passo-a-passo:

Temos então o seguinte número complexo:

$z=5+i.5\sqrt{3}$

Este número esta na forma cartesiana que é normalmente representada como:

$z=x+i.y$

Onde neste caso:

$x=5$

$y=5\sqrt{3}$

A forma trigonometrica é representada da seguinte forma:

$z=R.e^{i\theta}$

Onde R é o modulo do vetor z, e θ é o angulo do eixo real com o vetor.

Podemos encontrar facilmente R utilizando o modulo do vetor z:

$R^2=|z|^2=5^2+(5\sqrt{3})^2$

$R^2=25+25.3$

$R^2=25+75$

$R^2=100$

$R=10$

Agora já sabemos o modulo deste vetor que é de tamanho 10. Agora para encontrarmos o angulo, basta dividirmos x por R, pois x no plano cartesiano é o lado adjacente do angulo, e R é a hipotenusa, fazendo esta divisão teremos o cosseno deste angulo e por meio do cosseno podemos encontrar o angulo:

$cos(\theta)=\frac{x}{R}$

$cos(\theta)=\frac{5}{10}$

$cos(\theta)=\frac{1}{2}$

Assim sabemos que o cosseno deste angulo é de 1/2, ou seja, este angulo é de π/3 (60º), então agora sabemos este vetor na forma trigonometrica completa:

$z=R.e^{i\theta}$

$z=10e^{i\frac{\pi}{3}}$