Question

RECOMPENSA: 40 pontos

Gincana da noite

As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme a figura.
Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC = 6√3km, então CP é, em km, igual a?

a) 6 + √3
b) 6(3 - √3)
c) 9√3 - √2
d) 9(√2 - 1)

Boa sorte ksksk​

Answer 1

Resposta:

CP = 6(3-√3) km

Explicação passo-a-passo:

O restante da questão:

Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC = 6√3 km, então CP é, em km, igual a:

Podemos encontrar o segmento AB e AC utilizando a tangente do ângulo dado:

tan(30) = AB/BC

√3/3 = AB/6√3

AB = √3/3 * 6√3

AB = 6 km

Por Pitágoras, temos que AC é:

AC² = 6² + (6√3)²

AC² = 36 + 108

AC = √144

AC = 12 km

Podemos dizer que o lado CP está para 6√3 assim como PA está para 6, então equacionamos:

CP/6√3 = PA/6

Utilizando a propriedade das proporções, podemos somar os numeradores e dividir pela soma dos denominadores, ou seja:

CP/6√3 = PA/6 = CP+PA/6√3+6

CP/6√3 = 12/6√3+6

CP = 12*6√3/6√3+6

CP = 12*6√3/6(√3+1)

CP = 12√3/√3+1

Multiplicando numerador e denominador por √3-1, temos:

CP =  12√3(√3-1)/(√3+1)(√3-1)

CP = 36-12√3/2

CP = 18-6√3

CP = 6(3-√3) km

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Vamo lá, primeiro de tudo é necessário observar que o triângulo é um 30°/60°/90° e BC = 6 $\sqrt{3}$ isso implica em:

tg30° = $\frac{Co}{Ca}$  => $\frac{\sqrt{3} }{3}$ = $\frac{BA}{6\sqrt{3} }$ => BA = 6

cos30° = $\frac{Ca}{h}$ => $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{6\sqrt{3}}{AC}$ => AC = 12

Dica:

Triângulos 30°/60°/90° sempre seguem o padrão Cateto oposto à 30° = x / Cateto adjacente à 30° = x $\sqrt{3}$ / hipotenusa = 2x

Continuando...

Agora pra resolver tudo precisamos usar o Teorema da Bissetriz Interna "uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes."

Traduzindo:

$\frac{AB}{AP}=\frac{BC}{CP}$

$\frac{6}{AP} = \frac{6\sqrt{3}}{CP}$

$AP = \frac{CP}{\sqrt{3}}$

Outro fator importante é que AP + CP = AC, logo:

AP + CP = 12

Agora só resta substituir:

$\frac{CP}{\sqrt{3}} + CP = 12$

Multiplicando todo mundo por $\sqrt{3}$

$CP+CP\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$

Fatorando:

$CP(1+\sqrt{3}) =12\sqrt{3} \\\\CP = \frac{12\sqrt{3} }{1+\sqrt{3}}$

Racionalizando:

$CP = \frac{12\sqrt{3} }{1+\sqrt{3}}.\frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}-12.\sqrt{3}.\sqrt{3}}{1-3} = \frac{36-12\sqrt{3}}{2} = 18 - 6\sqrt{3}$

Fatorando:

$6(3-\sqrt{3})$

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