Question

RECOMPENSA: 40 pontos.

Gincana da manhã.

Calcule o valor dos limites:

a) Lim √x - 1 / x - 1
x → 1

b) Lim x² + x - 6 / x² - x - 2
x → 2

Boa sorte ksksk.​

Answer 1

Resposta:

a) 1/2

b) 5/3

Explicação passo-a-passo:

a)

Note que podemos escrever

$x-1 = (\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)$

Portanto

$\displaystyle \lim _{\x\to 1} \dfrac{\sqrt x -1}{x-1} = \lim_{x \to 1}\dfrac{\sqrt x -1}{(\sqrt x -1) (\sqrt x +1)} = \lim_{x \to 1}\dfrac{1}{\sqrt x + 1} = \dfrac 12$

Outra forma é observar que  o limite é a derivada de √x em x=1. Ou seja, se f(x) = √x temos

$f'(1) = \displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{f(x) -1}{x-1} =\lim_{x \to 1}\dfrac{\sqrt x -1}{x-1}$

Como a derivada de √x é ( 2√x)⁻¹ segue que o limite é 1/2

b)

Lembre que se r é raiz de um polinômio, então ele é divisível por x-r. Assim, no problema temos 2 que é raiz de x²+x-6 e x²-x-2. Logo, podemos fatorar x-2 em ambos:

(x²+x-6) = (x-2)(x+3)

(x²-x-2) = (x-2)(x+1)

Com isso advém

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \,\dfrac{x^2 + x - 6}{x^2- x - 2} = \lim _{x \to 2} \, \dfrac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+1)} = \lim_{x \to 2}\, \dfrac{x+3}{x+1} = \dfrac 53$

Answer 2

a)

$\mathtt{\lim_{x \to~1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}}$

$\mathtt{\lim_{x~\to~1}{\dfrac{\cancel{\sqrt{x}-1}}{\cancel{(\sqrt{x}-1)}(\sqrt{x}+1)}}}$

$\large\mathtt{\lim_{x~\to~1}\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{2}}$

b)

$\mathtt{{x}^{2}+x-6=(x+3)(x-2)}\\\mathtt{{x}^{2}-x-2=(x-2)(x+1)}$

$\large\mathtt{\lim_{x~\to~2}\dfrac{{x}^{2}+x-6}{{x}^{2}-x-2}}$

$\mathtt{\lim_{x~\to~2}\dfrac{(x+3)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}(x+1)}}$

$\mathtt{\lim_{x~\to~2}\dfrac{x+3}{x+1}=\dfrac{5}{3}}$