Question

razões e proporções

Answer 1

Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração:

Considere as proporções:

e  

Adicionando 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos:

Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos:

Exemplo:

Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.

Solução:

Assim:

x+y = 84   =>   x = 84-y   =>    x = 84-48   =>   x=36.

Logo, x=36 e y=48.

2ª propriedade

Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração:

Considere as proporções:

e  

Subtraindo 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos:

Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos

(Mult. os 2 membros por -1)

Exemplo:

Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção .

Solução:

Pela 2ª propriedade, temos que:

x-y = 18   =>   x=18+y   =>   x = 18+12    =>   x=30.

Logo, x=30 e y=12.

3ª propriedade:

Em uma proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração:

Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade:

Em uma proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração:

Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

      Exemplo:

Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção propor55.gif (190 bytes).

Solução:

Pela 4ª propriedade, temos que:

5ª propriedade:

Em uma proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.

Demonstração:

Considere a proporção:

Multiplicando os dois membros por propor51.gif (137 bytes), temos:

Assim:

Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo: