Question

Raiz quadrada pertence ao conjunto dos números Q =Racionais? Explique.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Depende.

Um número racional é todo número que pode ser escrito da forma:

$\frac{a}{b}$

Com a e b números inteiros e b diferente de zero.

Então:

$\sqrt{25} = 5$

E

$5 = \frac{5}{1}$

Por exemplo.

No entanto, existem algumas raízes quadradas que não podem ser escritas na forma de fração.

Por exemplo:

$\sqrt{2}$

Vamos provar que essa raiz aí não pode ser escrita como um número a/b, isto é, não é racional.

Suponha que ele possa ser escrito na forma a/b em que a e b são primos entre si, isto é, já estão simplificados ao máximo.

Segue que:

$\sqrt{2} = \frac{a}{b}$

$( \sqrt{2} {)}^{2} = ( \frac{a}{b} {)}^{2}$

$2 = \frac{ {a}^{2} }{ {b}^{2} }$

${a}^{2} = 2 {b}^{2}$

Observe que a^2 é par, pois é múltiplo de 2. Ou seja: a^2 é da forma a^2 = 2p. Substituindo:

$(2p {)}^{2} = 2 {b}^{2}$

$4 {p}^{2} = 2 {b}^{2}$

$\frac{4 {p}^{2} }{2} = \frac{2 {b}^{2} }{2}$

$2 {p}^{2} = {b}^{2}$

Observe que b^2 também é par. Pois é múltiplo de dois.

Como, tínhamos colocado que a e b eram primos entre si, chegamos em um absurdo. Demonstrando que raiz quadrada de 2 não é racional.

Existem outras raízes quadradas irracionais. Na verdade, existem mais raízes quadradas irracionais que racionais.

Answer 2

De forma simples, uma raiz pode ser incluída no conjunto dos números racionais se ela for exata.

Exemplos:

√4 = 2 (racional)

√3 = 1,732 (não racional)