Question

RADICIACAO
se 0<a<b racionalizando se o denominador tem se que

Answer 1

Resposta:

$A) \: 10\sqrt{10}-1$

Explicação passo-a-passo:

Já é dado a nós que a seguinte relação é verdadeira nos limites de a e b impostos:

$\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}$

A pergunta é tal que, qual o valor de:

$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...\:+\dfrac{1}{\sqrt{999}+\sqrt{1000}}$

Reformulando o somatório teremos:

$\sum^{1000}_{k=2} \dfrac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}$

A soma de 999 termos (de raiz de 1 a raiz de 999). Sabendo a relação dada podemos reformular o somatório:

$\sum^{1000}_{k=2} \dfrac{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}{k-(k-1)}$

$\sum^{1000}_{k=2} \dfrac{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}{1}$

$\sum^{1000}_{k=2} \sqrt{k}-\sqrt{k-1}$

$\sqrt{1000}-\sqrt{999}+\sqrt{999}-\sqrt{998}+\sqrt{998}-\sqrt{997}+...+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1$

É possível ver que os termos interiores da soma se anulam, portanto, nos reta somente

$\sqrt{1000}-1$

O que nos resulta:

$10\sqrt{10}-1$

Alternativa A)