Question

Racionalize os denominadores das frações.

a)

3

√6

b)

3

√6

c)

9

√9

3

d)

1

√5

3 e)

4

√2

5 f)

4

√7+√2

g) √3

√3+√2

h)

−

√−√​

Answer 1

Resposta:

a ) $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$       c) $\dfrac{3\sqrt{93} }{31}$       d ) $\dfrac{\sqrt{5} }{5}$   e ) $2\sqrt{2}$     f )   $\dfrac{4*\sqrt{7} -4*\sqrt{2} }{5}$      

g )  $3-\sqrt{6}$

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Porque se racionalizam os denominadores ?

Repare que

√3 = 1,7320508075688772935274463415059  ....

É fácil fazer a divisão por por um número destes?

Claro que não.

a)  

$\dfrac{3}{\sqrt{6} }$

$\dfrac{3}{\sqrt{6} } =\dfrac{3*\sqrt{6} }{\sqrt{6} *\sqrt{6} } =\dfrac{3\sqrt{6} }{(\sqrt{6} )^2} =\dfrac{3\sqrt{6} }{6}$

Simplificando a fração , dividindo numerador e denominador

por 3

$=\dfrac{(3\sqrt{6}) :3}{6:3}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$    

b) na tarefa que montou está como repetição da a)

c )

Talvez esteja

$\dfrac{9}{\sqrt{93}}$  

não entendo porque abaixo disto, nesta alínea , você tem

o algarismo 3.

Dei esta interpretação.

$\dfrac{9}{\sqrt{93}}=\dfrac{9*\sqrt{93} }{\sqrt{93}*\sqrt{93} }=\dfrac{9*\sqrt{93} }{(\sqrt{93})^2}=\dfrac{9\sqrt{93} }{93}$

Simplificando a fração dividindo tudo por 3

$=\dfrac{(9\sqrt{93}):3 }{93:3}= \dfrac{3\sqrt{93} }{31}$

d )

Aparece outra vez um 3 por baixo de tudo. Não percebo a pergunta.

Resolvo como se não estivesse lá o 3

$\dfrac{1}{\sqrt{5} } =\dfrac{1*\sqrt{5} }{\sqrt{5}*\sqrt{5} }=\dfrac{\sqrt{5} }{(\sqrt{5})^2 }=\dfrac{\sqrt{5} }{5}$

e )

Aparece um 5 no fim de tudo desta alínea. Há várias

interpretações possíveis.

Vou resolver como se lá não estivesse.

$\dfrac{4}{\sqrt{2} }=\dfrac{4*\sqrt{2} }{\sqrt{2} *\sqrt{2} }=\dfrac{4*\sqrt{2} }{(\sqrt{2})^2 }=\dfrac{4\sqrt{2} }{2} =\dfrac{(4\sqrt{2}):2 }{2:2}=2\sqrt{2}$

f )

$\dfrac{4}{\sqrt{7} +\sqrt{2} }$

$\dfrac{4}{\sqrt{7} +\sqrt{2} }=\dfrac{4*(\sqrt{7} -\sqrt{2} )}{(\sqrt{7} +\sqrt{2})*(\sqrt{7} -\sqrt{2} )}=\dfrac{4*\sqrt{7} -4*\sqrt{2} )}{(\sqrt{7})^2 -(\sqrt{2})^2}=\dfrac{4*\sqrt{7} -4*\sqrt{2} }{7-2}$

$=\dfrac{4*\sqrt{7} -4*\sqrt{2} }{5}$

g )

$\dfrac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} +\sqrt{2} }$

$\dfrac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} +\sqrt{2} }=\dfrac{\sqrt{3}*(\sqrt{3}-\sqrt{2}) }{(\sqrt{3} +\sqrt{2})*(\sqrt{3} -\sqrt{2} ) }=\dfrac{\sqrt{3}*\sqrt{3}-\sqrt{3}*\sqrt{2} }{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2} )^2 }=\dfrac{(\sqrt{3})^2-\sqrt{3*2} }{3-2}$

$\dfrac{3-\sqrt{6} }{1}=3-\sqrt{6}$

Observação 2 → Racionalizar denominador com um só radical

Se tem uma raiz quadrada de um radicando que não seja

uma potência a regra é multiplicar o numerador e o

denominador da fração pelo radical no denominador.

Exemplo

$\dfrac{3}{\sqrt{6} } =\dfrac{3*\sqrt{6} }{\sqrt{6} *\sqrt{6} }$

Repare que no denominador tinha uma raiz quadrada de 6.

Observação 3 → Racionalizar denominador com soma ou diferença de radicais

Tem que multiplicar o numerador e o denominador da fração

pelo conjugado do denominador.

Exemplo

$\dfrac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} +\sqrt{2} }=\dfrac{\sqrt{3}*(\sqrt{3}-\sqrt{2}) }{(\sqrt{3} +\sqrt{2})*(\sqrt{3} -\sqrt{2} ) }$

Observação 3 → O que é um conjugado de uma expressão?

No exemplo de ( √3 + √2 ) o seu conjugado será  ( √3 - √2 ).

Repare que mantém o primeiro valor e muda o sinal no

segundo valor.

Se tivesse ( √7 - √11 ) o conjugado seria ( √7 4 √11 ).

Observação 4 → O que dá o produto de valores conjugados?

Vai dar sempre o 1º valor elevado ao quadrado " menos " o 2º

valor ao quadrado.

Exemplo

( √3 + √2 ) * ( √3 - √2 ) = ( √3 )² - ( √2 )²

Observação 5 → A diferença de dois quadrados

É um Produto Notável.

a² - b² = ( a + b ) * ( a - b )

Mas é importante saber que se lhe aparecer a expressão

( a + b ) * ( a - b ) = a² - b²

É nesta forma que você tem o produto de conjugados

( √3 + √2 ) * ( √3 - √2 ) = ( √3 )² - ( √2 )²

Observação 6 → Quadrado de uma raiz quadrada

Ter raiz quadrada de algo e depois elevar ao quadrado é a

mesma coisa que nada fazer.

Isto acontece porque a potenciação é a operação inversa da

radiciação.

Exemplo

( √3 )² = 3

Observação 7 → Elementos de um radical

Exemplo

$\sqrt[3]{7^2}$  

→ índice  é 3

→ radicando é  7²

→ expoente do radicando é 2

→ símbolo de radical é √

Bons estudos.

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( : ) divisão      ( * )  multiplicação