Question

Racionalize o denominador da fração.
a conta está na imagem​

Answer 1

Usando:

• noção de conjugado

• diferentes processos de racionalizar denominador de fração

• produto notável " diferença de dois quadrados "

obtém-se:

$\dfrac{2\sqrt{2} +2 -\sqrt{12} }{8}$

Para racionalizar este denominador temos que , num primeira etapa,

multiplicar pelo conjugado, quer o numerador quer o denominador da

fração.

Observação 1 → Conjugado de uma expressão

Quando se tem a expressão ( 3 +√7 ) o conjugado será a expressão que

mantém o valor que não é radical e muda o sinal do radical.

Assim o conjugado de ( 3 + √7 )  é ( 3 - √7 )

Pegamos em ( 2 + √2 + √6 ) e agrupamos os dois primeiros valores.

( 2 + √2  ) + √6.

Assim o conjugado será ( 2 + √2  ) - √6

$\dfrac{1}{2+\sqrt{2}+\sqrt{6} }=\dfrac{1}{(2+\sqrt{2})+\sqrt{6} }$

$=\dfrac{1*(2+\sqrt{2})-\sqrt{6} }{[(2+\sqrt{2})+\sqrt{6}]*[(2+\sqrt{2})-\sqrt{6}] }$     ( A )

$=\dfrac{(2+\sqrt{2})-\sqrt{6} }{[(2+\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2] }=\dfrac{(2+\sqrt{2})-\sqrt{6} }{2^2+2*2*\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 -6 }$   ( B )

$=\dfrac{(2+\sqrt{2})-\sqrt{6} }{4+4\sqrt{2}+2 -6 }=\dfrac{(2+\sqrt{2})-\sqrt{6} }{6-6+4\sqrt{2} }=\dfrac{(2+\sqrt{2})-\sqrt{6} }{4\sqrt{2} }$

Agora no denominador temos 4√2.

Para racionalizar esta fração basta multiplicar o numerador e o

denominador por √2.

$=\dfrac{[(2+\sqrt{2})-\sqrt{6}]*\sqrt{2} }{4\sqrt{2}*\sqrt{2}}=\dfrac{2*\sqrt{2} +\sqrt{2}*\sqrt{2} -\sqrt{6}*\sqrt{2} }{4\sqrt{2}*\sqrt{2}}$

$=\dfrac{2\sqrt{2} +(\sqrt{2})^2 -\sqrt{6*2} }{4(\sqrt{2})^2}}=\dfrac{2\sqrt{2} +2 -\sqrt{12} }{4*2}$

$=\dfrac{2\sqrt{2} +2 -\sqrt{12} }{8}$

O denominador já não tem radicais, por isso está racionalizado.

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Explicação de cálculos intermédios

( A )

Observação 2 → Diferença de dois quadrados

$[(2+\sqrt{2})+\sqrt{6}]*[(2+\sqrt{2})-\sqrt{6}] }$

Este é um produto notável: " Diferença de dois quadrados "

Quando temos, genericamente:

$a^2-b^2$   diferença de dois quadrados , o seu desenvolvimento é:

( base do 1º quadrado + base do 2º quadrado ) *

* ( base do 1º quadrado - base do 2º quadrado )

$a^2-b^2 = ( a + b ) * ( a-b)$

Mas não podemos esquecer que se temos

$( a + b ) * ( a-b)$

isto é igual a $a^2-b^2$

Por isso

${[(2+\sqrt{2})+\sqrt{6}]*[(2+\sqrt{2})-\sqrt{6}] }$    =   $(2+\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2$

   ↓              ↓

  ( a      +      b ) * (   a         -   b )    

( B )

Observação 3 → Quadrado de uma soma

É outro caso notável aqui e o seu desenvolvimento é:

• quadrado do 1º termo

mais

• o dobro do produto do 1º pelo 2º termo

mais

quadrado do 2º termo

Exemplo:

$(2+\sqrt{2})^2=}{2^2+2*2*\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2$

Bons estudos.

Att:   Duarte Morgado

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( * ) multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.