Question

Racionalize a seguinte expressão
$\frac{ \sqrt[3]{4} \: - \: 6\sqrt[3]{2} }{ \sqrt{ \sqrt[3]{16} } }$
A minha conta ficou diferente da resposta no livro quero ver o que fiz de errado. Não gosto de pedir a resposta sem me esforçar primeiro. Essa gente aqui quer tudo de bandeja.​

edit: já consegui! "A pressa é inimiga da eficiência".

Answer 1

Ao racionalizarmos o a expressão e simplificarmos podemos concluir que

$\Large\text{ \dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\sqrt[3]{16} } }\Rightarrow\boxed{\dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{16 } } }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que racionalizar a seguinte expressão

$\dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\sqrt[3]{16} } }$

Mas antes, temos que saber o que é racionalizar

• Racionalizar um expressão significa tirar a raiz do denominador, para fazer isso usamos métodos algébricos

Antes de começarmos a racionalizar podemos simplificar a expressão de modo que facilite nosso cálculos

Perceba que no denominador da expressão temos $\sqrt{\sqrt[3]{16} }$

Podemos usar um propriedade da raiz que diz o seguinte

• $\Large\text{ \sqrt[X]{\sqrt[Y]{Z} } = \sqrt[X\cdot Y]{Z} }$

Então podemos escrever o $\sqrt{\sqrt[3]{16} }$ como $\sqrt[6]{16}$

$\Large\text{ \sqrt[2]{\sqrt[3]{16} } = \sqrt[2\cdot 3]{16} }\\\\\\\boxed{\Large\sqrt[6]{16} }$

Então ficamos com a seguinte expressão

$\Large\text{ \dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\sqrt[3]{16} } }\Rightarrow\boxed{\dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{ \sqrt[6]{16} }} }$

Agora vamos racionalizar a expressão

Para começar vamos multiplicar a expressão pela mesma raiz do denominador, tanto em cima quanto em baixo só que o radical da raiz  vai ser elevado a mesmo valor do índice menos 1

$\Large\text{ \dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{ \sqrt[6]{16} }\cdot \dfrac{ \sqrt[6]{16^5}}{ \sqrt[6]{16^5}} }$

$\Large\text{ \dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{ \sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{16^5}} }$

Bem agora no denominador podemos usar uma propriedade de multiplicação de raízes de mesmo índice

• $\Large\text{ \sqrt[n]{x^m}\cdot \sqrt[n]{x^y}= \sqrt[n]{x^{m+y}} }$

$\Large\text{ \dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{ \sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{16^5}} }\\\\\\\\\Large\text{ \dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{ \sqrt[6]{16^6} } }\\\\\\\\\boxed{\Large\text{ \dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{16 } }}$

Como a questão só quer a forma racionalizada e não a forma simplificada da questão  podemos parar por aqui

Link de questão parecida:

https://brainly.com.br/tarefa/1389846